数学II 微分積分の問題

質問

放物線y=x^2+2x+aに(0,0)からひかれた2本の接線は垂直です。これらの放物線,接線で囲まれてできる図形の面積を求めなさい。

という問題が塾で出されましたが、この問題の解き方をご教授いただけると幸いです。まずはaを求めるところから始めなくてはならないでしょうか？

回答No.4

info22_

#1,#3です。

A#3に図を添付するのを忘れましたので

改めて添付します。

回答No.3

info22_

#1です。

A#1に書いたようにどこまで出来てどこが分からないか補足に書いて欲しいですね。

余り他力本願にならないで自力でやるようにして下さい。
一応、解答を書いておきますのでフォローして理解するようにして下さい。

説明図を添付しますので参考にして下さい。

放物線:y=x^2+2x+aの原点を通る2本の接線は
接点A,Bのx座標はx=-√aとx=√a
y'=2(x+1)より
接線はそれぞれ
y=2(1-√a)x と y=2(1+√a)x

この2本の接線の直交条件
　2(1+√a)*2(1-√a)=4(1-a)=-1 ∴a=5/4

2接線と放物線で囲まれる面積Sは
-√a≦x≦0の範囲の面積S1（水色の領域）と
0≦x≦√aの範囲の面積S2（黄色の領域）の和となります。

S1=∫[-√a,0] (x^2+2x+a-2(1-√a)x)dx
=[x^3/3+x^2+ax-(1-√a)x^2)][-√a,0]
=(1/3)a√a

S2=∫[0,√a] (x^2+2x+a-2(1+√a)x)dx
=[x^3/3+x^2+ax-(1+√a)x^2)][0,√a]
=(1/3)a√a

S=S1+S2=(2/3)a√a

a=5/4を代入して
∴S=(5/12)√5

回答No.2

151A48

この放物線上の点Ｐ（t, t^2 +2t+a)　における接線は　y=(2t+2)x+a-t^2
これが原点を通る条件は　a-t^2=0　a>0　として　t=±√a （a≦０では２本接線が引けない）
よって接線は　y=(2√a +2)x　と　y=(-2√a +2)x
これらが直交する条件は　(2√a +2)(-2√a +2)=-1 より　a=5/4
放物線とy=(2√a +2)x　の接点は　x^2+2x+a=(2√a +2)x　より　(x-√a)^2=0 ∴x=√a
同様にもう１本の接線との接点はx=-√a (わずらわしいのでaへの代入は最後にやります）。
あとは定番の積分で　(x+√a)^2を-√aから0まで，(x-√a)^2を0から√aまで定積分します。

回答No.1

info22_

塾はあなたの数学の実力を身につけるところではないですか？
その塾の問題はあなたがやらないでどうするんですか？
塾の問題をここに丸投げして、何の為の塾ですか？

あなたのやれるところをまずやって、補足にあなたがやった解答を途中計算を書いて、行き詰まっている所で何がわからないかを訊いてください。

多分、積分以前が分かっていないのでは？
放物線に接線が引けるためにはaはどんな範囲を取らないといけないか？はわかりますか？

分かったとして、原点を通る放物線の２本の接線の方程式（aを含む式）は求められますか？

その２本の接線が直交する条件からaの値と２本の接線を求められますか？

２本の接線と放物線上の２つ接点の座標を求められますか？

ここまでができなければ、本問題の面積積分をする以前の基礎が出来ていないことになります。まずその辺りから教科書を復習し直さないといけないかもしれません。

あなたがどこまで分かっているか、分かりませんので、あなたの解答を補足に書いてもらえませんか？

分かっている範囲の事は、敢えてここで回答する必要はないですから。
２本の直交する接線が求められ接点の座標が分かっているなら、補足にお書きください。

わからないなら、上のステップの分かっている所までの途中の計算式と解答を補足にお書きください。