微分係数ってなんですか

質問

微分係数とは曲線の傾きを表すと書かれているのですが、感覚がつかめません・・・瞬間時速みたいなものと捉えていいのでしょうか？

回答No.5

snobbery · ベストアンサー

微分ってのはそもそも

lim {f(x+h)-f(x)}/h=f'(x)

という難解な式(とはいえ、教科書の最初には必ず載っています)によって定義されているので、この左辺の意味を理解することが先決です。

例えば曲線が↑の画像のような形を例にとると、
微分というのは、曲線と二点ＡＢで交わる直線において、ＢをＡに近づけていった時の、その直線の傾きを表します。

つまり、微分f'(x)ってのは接線の傾きを表します。

たとえば、ある曲線のx＝3の時の接線の傾きを知りたいと思ったら、
f'(3)がその傾きの値になります。

回答No.4

sak_sak

中学の一次関数などで、横軸が時刻、縦軸が距離のグラフをかいたと思います。そのときの傾きが速さになります。

実際には自動車でも電車でも、一次関数のグラフのようにはいきませんね。信号や駅で停車することもありますし、カーブで減速することもあります。グラフはくねくね曲がったものになるでしょう。
そのとき速度メーターを見ることができれば、速くなったり遅くなったりしてるでしょうね。それが微分係数ということです。

瞬間時速みたいなもの、という捉え方でいいと思いますよ。

回答No.3

True-YamadaTarou

直感で説明します。

例えば、

y = x^2 （ｘの2乗）

を直線で書く事を考えてみましょう。
x = -2の時、y = 4
x = -1の時、y = 1
x = 0 の時、y = 0
x = 1 の時、y = 1
x = 2 の時、y = 4

これらの点、・・・、(-2,4),(-1,1),(0,0),(1,1),(2,4),・・・を直線でつないでみると、いびつですが、y = x^2っぽいグラフが書けますね。

それで、例えば 0 ≦ x ≦ 1 の範囲にあるx　の微分係数を、この直線の傾きと考えて見ましょう。

・・・

でも、ちょっと大雑把すぎますねｗ

じゃぁ、x = -2, -3/2, -1, -1/2, 0, 1/2, 1, 3/2, 2
と x をもう少し細かくとって、直線で結んでみるとどうでしょう。さっきよりそれっぽいグラフになりませんか？しかも、微分係数もさっきよりは正確そうですｗ

じゃぁ、もっとずっと細かくして直線で結んで見ましょう。きっともっとそれっぽい y = x^2 のグラフが書けそうだ。という事は分かりますよね。

そうしたら、微分係数もかなり正確なはずです。

直感的には点と点を結んだこの直線が微分係数だと思ってもらって問題ないでしょう。

回答No.2

yumisamisiidesu

微分係数とは局所的に比例定数（一汎的には線形写像）で近似されたものと捉えることができます.ただこの説明ではますます、理解するのが困難になると思いますが…

高校レベルの微分だと瞬間変化率と捉える方が直感的に理解しやすいと思います.

回答No.1

secretd

正確には，関数上の点(a,f(a))の微分係数f'(a)は，「その点での接線の傾き」に等しいです．
x軸が時間経過，y軸が距離を表していた場合，微分係数は瞬間の速さをさします．ある２点を結んだ直線の傾きは，その２時点間の平均の早さですね．