行列の次元、基底の問題です ご教授ください

質問

R^4の列ベクトル(便宜上横に書きます)a1,a2.a3,a4をa1=(2,1,1,0) a2=(2,-1,-3,2) a3=(2,1,-2,3) a4=(1,1,0,1)として、部分空間W1=<a1,a2> W2=<a3,a4>とする。
W1∩W2及びW1+W2の基底と次元を求めよ。

どうもこの問題が分かりません。どなたか詳しい説明をお願いしたいのですが・・・
もし詳しく書くのが面倒ならもちろん略解でかまいません。
どうか宜しくお願いします。

回答No.2

continuous · ベストアンサー

計算してみたら、
　β＝－α、γ＝－２α、δ＝４α
になりました。このことから、w∈W1∩W2を満たすwは
　w=α(0,2,4,-2)^T（^Tは転置を表す）
という形に限定されることがわかります。
よって、W1∩W2の基底は(0,2,4,-1)^T、次元は１です。

ということは、W1+W2の次元は３です。
　rank[a1 a2 a3]=3
なので、基底はa1,a2,a3です。

回答No.1

continuous

概略だけ説明します。
まず、W1∩W2の基底を求めます。
w∈W1∩W2とすると、あるα、β、γ、δを用いて
　w=αa1＋βa2＝γa3＋δa4
とかけます。この式から、
　[a1 a2 a3 a4]*[α　β　-γ　-δ]^T=0（^Tは転置を表す）
です。もし、
　det[a1 a2 a3 a4]≠0
ならw=0で、W1∩W2の次元は0です。もし、
　det[a1 a2 a3 a4]=0
なら、wは自明でない解を持つので、連立方程式を解いてください。
解いてwをパラメータ表示し、パラメータを係数とするような
線形結合に書き直せば、線形結合を構成するベクトルが基底です。
パラメータの数が次元です。

W1∩W2がわかればW1+W2もすぐにわかります。