基底

質問

a1=(1,1,1,1) a2=(1,0,1,0) a3=(2,1,2,1) a4=(-1,2,-1,0) a5=(4,1,4,1)で生成される空間をＷとする。Ｗの基底と次元を求めてくださいお願いします。

回答No.1

noname#154783 · ベストアンサー

すみません．以下，行列のレイアウトが崩れてるかもしれませんが，よろしくお願いします．

{a1, ... a5}から線形独立なベクトルの組を作り出すため，行ベクトルa1～a5を並べて，次のような行列を作ります：
┌ 1 1 1 1 ┐
│ 1 0 1 0 │
│ 2 1 2 1 │
│-1 2 -1 0 │
└ 4 1 4 1 ┘

この行列に，次の「基本行変形」を施していって，余計な成分を掃き出していきます：

基本行変形
・任意の行を（実数，複素数）倍する．
・任意の行を（実数，複素数）倍したものを任意の行に加える
・任意の行同士を入れ替える

※（実数，複素数）のところは，実線形空間を考えているなら「実数」，複素線形空間を考えているなら「複素数」と読んでください．

そうすると，
┌ 1 1 1 1 ┐
│ 1 0 1 0 │
│ 2 1 2 1 │
│-1 2 -1 0 │
└ 4 1 4 1 ┘

┌ 0 1 0 1 ┐
│ 1 0 1 0 │
～│ 0 1 0 1 │ （2行目を（実数，複素数）倍して，他の行に加えた）
│ 0 2 0 0 │
└ 0 1 0 1 ┘

┌ 0 1 0 1 ┐
│ 1 0 1 0 │
～│ 0 1 0 1 │ （4行目を1/2倍）
│ 0 1 0 0 │
└ 0 1 0 1 ┘

┌ 0 0 0 1 ┐
│ 1 0 1 0 │
～│ 0 0 0 1 │ （4行目を（実数，複素数）倍して，他の行に加えた）
│ 0 1 0 0 │
└ 0 0 0 1 ┘

┌ 0 0 0 1 ┐
│ 1 0 1 0 │
～│ 0 0 0 0 │ （1行目を（実数，複素数）倍して，他の行に加えた）
│ 0 1 0 0 │
└ 0 0 0 0 ┘

┌ 1 0 1 0 ┐
│ 0 1 0 0 │
～│ 0 0 0 1 │ （行を入れ替えた）
│ 0 0 0 0 │
└ 0 0 0 0 ┘

このようにすると，最後の行列を構成するそれぞれの行ベクトルは元の行ベクトル{a1, ... a5}の線形結合によって得られたものであり，上3つの行ベクトルは明らかに線形独立です．

したがって，Wの次元は3であり，その基底{e1,e2,e3}は例えば次のようになります：
e1 = (1 0 1 0),
e2 = (0 1 0 0),
e3 = (0 0 0 1).

「例えば」と書いたのは，他にも基底の選び方はいろいろあるからです．この線形空間にエルミート積による計量が入っているなら，
e1 = (1/√2 0 1/√2 0),
e2,e3は上と同じ
としておいたほうが正規直交基底になっていて便利かもしれません．