オイラーの公式に関係した対の数

質問

オイラーの公式e^(πi)=-1においてe^πに注目しe^π=y^xという方程式を考えた場合、この方程式を満足する数の組み合わせは何か共通な特殊な意味を持っているのでしょうか。この方程式で（π、e)は無限にある組み合わせの一つに過ぎなくなってしまうように思うのですが・・・

回答No.7

peeea · ベストアンサー

No.1です。
No.6で誤字が多かったので修正して後半部分だけ投稿し直します。
申し訳ありませんが、No.6は読まなくて結構です。

e^πi = (e^x)^(πi/x)　を実際に解いていきます。

底が　e^x　、指数が　(π/x)　ですが、どちらかを別の形で
書きあらわすことが出来ればすごく面白いことになりますね。

指数をaという実数で表すにはx=π/aとします。
底がe^(π/a)となり、e^πi = (e^(π/a))^aと書けます。

底をbという実数と表すにはx=ln(b)とします。
指数がπ/ln(b)となり、e^πi = b^(πi/ln(b))と書けます。
（ln(b)　は底がeの対数）
きれいな形とはいえないかもしれませんが、
別の形（に見える式）で書くとこのようになりました。

a=1やb=eの場合がオイラーの式ということになりますね。
美しい形とは言いがたいでしょうが、オイラーの式を
書き直した場合どのように成るかが解けて楽しかったです。

参考URL：

​http://okwave.jp/qa2656053.html​

お礼

数学が堪能な方が楽しいとおっしゃっているように楽しめるように勉強したいと思いました。御教示ありがとうございました。

回答No.6

peeea

No.５です。
補足を読ませてもらって、質問者様の考え方が
なんとなく分かった気がします。

2^4 = 4^2　（= 16）のような関係が成り立つなら
2^4iと4^2iが等しくなるのではないか、ということでしょうか。

他には
3^4 = 9^2（= 81）
3^6 = 9^3（= 729）
などが同じ関係です。

これを一般的に書くと
(A^B)^C = A^(B*C)　です。
教科書にも載っていた記憶があります。

複素数でも成り立つので（参考URL）、
(A^B)^Ci = A^(B*C*i)とできるので
質問者様の考え方は正しいと言えると思います。

次に、e^π を考えますが、xという任意の実数を使用します。
e^π = (e^x)^(π/x)　　（= e^(x*π/x)）
そして虚数を入れると
e^πi = (e^x)^(πi/x)　となります。

質問内容の考えとしては、これでいいでしょうか？
ここまでの考え方で実際に解いていきます。

e^x　と　(π/x)　が出てきましたが、どちらかを別の形で
書きあらわすことが出来ればすごく面白いことになりますね。

指数をaという実数で表すには左側をx=π/aとします。
底がe^(π/a)となり、e^πi = (e^(π/a))^aと書けます。
これは今までの回答と同じ形です。

底をaという実数と表すにはx=ln(b)とします。
指数がπ/ln(b)となり、e^πi = b^(πi/ln(b))と書けます。
（ln(b)　は底がeの対数）
きれいな形とはいえないかもしれませんが、
別の形（に見える式）で書くとこのようになりました。

a=1やb=eの場合がオイラーの式ということになりますね。
美しい形とは言いがたいでしょうが、オイラーの式を
書き直した場合どのように成るかが解けて楽しかったです。

参考URL：

http://okwave.jp/qa2656053.html

回答No.5

peeea

e^π = y^x の方程式を解くと y = e^(π/x) の関係になるのは、
既に詳しい回答がされていますね。
この式に特別な意味を持たせるのは難しいかもしれません。
ここではオイラーの式について少し書きます。

ご存知かもしれませんが、
e^z = e^(a+θi)
= e^a * e^(θi)
= e^a * (cos(θ) + i*sin(θ))
というのが、オイラーの式を一般化した形です。

以降、複素平面（ガウス平面）で考ます。
e^(a+θi)の点は、中心座標(0,0)で半径e^aの円周上にあり、
原点と結んだ線分が実軸と角度θで交わります。
複素平面については参考URLに解説があります。

ここで、a = 0 は半径（= 絶対値）１、
θ = π は実軸を左回りに180度（負の実数）とすることができ、
e^(0+πi) = -1 となります。
これはzが複素数にも関わらず解に虚数が含まれない
非常に特殊な状態と言えます。

次にe^(π+0i)を考えます。
a = π なので、半径は e^a
θ = 0 なので実軸上（正の実数）となり、
オイラーの公式で重点を占める虚数部分が消えてしまいます。

e^(π+0i) = e^π となり、指数関数の底も指数も無理数になっています。
(√2)^(√3) などのような無理数と
大して変わらないと考えられるでしょう。

参考URL：

http://www.f-denshi.com/000TokiwaJPN/12cmplx/010cmp.html

補足

ある数の虚数乗が－１になるのはｅのπ乗だけではなくｙ＾ｘの形で無数にあるとすると、この条件を満たすｙとｘは何か特別の関係にあるかと思ったわけでした。

回答No.4

nettiw

y^x=x^y でちょっと遊んでみました。
変形したら、
x/logx=y/logyの形になりまして、
見たような式で、
素数定理の式と気が付きました。

グラフで、読み取っていたら、
読み取り易い数値で、
1.855^4.500=16.12
4.500^1.855=16.28

整数では、
2^4=4^2
しか覚えがなく、

eとπに戻り、とりあえず、
e^π=(23.14069260685420)

πを何乗したら、e^πなるかなと思い計算したら（させたら）、
e^π=π^(2.74439646576852 )

意外にeに近いので、
今度は
π^eを計算させたら、
π^e=(22.4591576950977)
となって、

e^π≒π^e
などと楽しませて頂きました。

お礼

そういう楽しみ方があるのですね。私も私なりに余裕をもてるように努力いたします。ありがとうございました。

回答No.3

info22

#2です。
A#2の補足について
＞無限の組み合わせがあるということとπやｅが特別の数であるということとは別のことなのですね。
その通りです。
xとyは陰関数の関数関係にあるということですね。
単なる一価関数でなく、xの値によっては多価関数にもなりますし、他の関数のように複素関数にまで拡張さえ可能ですね。つまりxに複素数値を与えてもyの値が複素数の範囲で存在するということですね。

他の陰関数と同様ですね。
(y=f(x)のような陽関数形式でなくf(x,y)=0といった形式の関数など)
sin(x)+cos(y)=3/2→((π/2)+2mπ,(π/3)+2nπ),(i+2nπ,arccos((3/2)-i sinh(1))+2nπ),…
x^2+y^2=4→(±2,±2),(±1,±√3),(±2i,±2√2),…
など

お礼

御教示感謝いたします。勉強の糧にさせていただきます。

回答No.2

info22

y^x=e^π
例えば
x=2の時
y^2=e^π、y=±e^(π/2)
(2,±e^(π/2))も元の方程式を満足します。

x=4の時
y^4=e^π,y=±e^(π/4),±i e^(π/4)
(4,±e^(π/4))、(4,±i e^(π/4))も元の方程式を満足します。

x=5,x=6,x=3,x=i,…に対するyも存在しますね。
興味あればやってみて下さい。

といった具合に
(π,e)以外に無限に元の方程式を満たす組合せが存在します。

補足

ご教示のように無限の組み合わせがあるということとπやｅが特別の数であるということとは別のことなのですね。

回答No.1

sanori

４月にもお会いしましたね。　^^

ｅ^x を何回微分しても、ｅ^x です。

ｅ^(iθ)　を１回微分すると、iｅ^(iθ)
２回微分すると、－ｅ(iθ)　です。
ｎ回微分は、ｉ^n・ｅ(iθ)　です。

ｅは、ご質問文にあるｙという一般的な数とは異なり、
上記のような重要かつ便利な性質がありますよね。
「大勢の中の一人」ではないです。

お礼

いつもお世話になります。繰り返しになってしまいましたが補足のほうに書かせていただきました。

補足

私の勘違いかなと思っています。ｙ＾ｘがｅ＾πになるようなｘ、ｙの組み合わせは無数にありますが、このｙとｘというふたつの数の間には共通な何か特別な意味（πとｅの関係のような？）があるかと思ったのですが・・・