ΣとCが入った式の変形

質問

「n>2となる自然数ｎについて
Σ[k=3,n]（k-1)C2 k ＋Σ[k=4,n+1]（k-1)C3
を簡単にせよ」

という問題なのですが、
左の項の　(k-1)C2＝｛(k-1)(k-2)｝/２としてみて
Σ[k=3,n]（1/2 k^3 －3/2 k^2 ＋ｋ）
としたんですが、k=1からだったらΣの公式みたいなのを利用できるかなと思ったのですが、Σのk=3からというのを今まで見たことがなく、これ以上はできませんでした。
この与式の変形の方法について回答よろしくおねがいします

回答No.1

oyaoya65 · ベストアンサー

＞Σ[k=3,n]（1/2 k^3 －3/2 k^2 ＋ｋ）
=Σ[k=1,n]（1/2 k^3 －3/2 k^2 ＋ｋ）
-(1/2 －3/2 ＋1)
-((1/2)x8 －(3/2)x4 ＋2)

のようにk=1からに変更して
k=1とk=2の場合の項を引いておけば
k=1からのΣの公式が適用できると思いますが、
いかがでしょうか？

回答No.4

endlessriver

左右の式に同じ項が含まれていることをみてパラメータを合わせるようにします。nCr=n!/{(n-r)!r!}だから
Σ[k=3,n][(k-1)!/{(k-3)!2!}]k ＋Σ[k=4,n+1]（k-1)!/{(k-4)!3!}
すると、１項はkを(k-1)!にくっつけ、２項はj=k-1　とおいて添字の変数変換すれば（別にする必要はないがわかりやすさのため）
Σ[k=3,n]{k!/{(k-3)!2!}＋Σ[j=3,n] j !/{(j-3)!3!}
=Σ[k=3,n] 3{k!/{(k-3)!3!}＋Σ[k=3,n] k!/{(k-3)!3!}
=4Σ[k=3,n]{k!/{(k-3)!3!}
途中で、添字の変数は何でもかまわないから jをkに戻しています。
おっと問題からすると最後は　4Σ[k=3,n] kC3 かな。

回答No.3

debut

＞(k-1)C2＝｛(k-1)(k-2)｝/２
の式を見てもわかるように、ｋ＝１とｋ＝２のときは項がどちらも０
ですから、和は公式通りでもできます。
同様に、（k-1)C3も{(k-1)(k-2)(k-3)}/(3×2)で、ｋ＝１、ｋ＝２、ｋ＝３
のときは項がすべて０です。
まあ、普通はｎ項までの和から１，２項の和を引いたりするものですが・・

回答No.2

Sbacteria

単純に、k=1の公式に当てはめて、k=1, k=2の場合を引けばどうですか？　　それに、よく見ると、どちらの場合も値は0なので、関係なさそうですね。

　数列では、いくつか手計算で代入して求めていく事も大事ですよ。良い考えを浮かべるためにも、色々手でいじくることが重要です。