この式変形がわかりません

質問

数列｛a(n)｝があり
a(n)<1
a(n+1)<1
a(n)<a(n+1)
がわかっているときに

( a(n+1) - a(n) )^2 = 1/4 × ( a(n)-1 )^2 × ( a(n+1) - 1 )^2

を

a(n+1) - a(n) = 1/2 × (1-a(n) ) × (1-a(n+1) )

と変形しているのですが、なぜこういえるのか分かりません
回答よろしくお願いします

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

前提は、
　a(n)<a(n+1)<1
要するに「n とともに増大、1 を超えない」ですね。

>( a(n+1) - a(n) )^2 = 1/4 × ( a(n)-1 )^2 × ( a(n+1) - 1 )^2

これは恒等式じゃなさそうで、問題の条件か、なんかなのでしょう。

両辺とも二乗形なので、
　a(n+1) - a(n) = ±(1/2)*{a(n)-1 }*{a(n+1) - 1 }
と開平できます。

ここで前記前提を勘案すれば、左辺は正値。
したがって右辺も正値となるよう、±の一方を選ばねばならず、
　a(n+1) - a(n) = (1/2)*{a(n)-1 }*{a(n+1) - 1 }　( > 0 )
と変形しているのでしょう。

お礼

回答ありがとうございます！
簡単な所を聞いてしまい申し訳ないです