微分問題です。

質問

ｆ（ｘ）＝ｘ＾３－３ａｘ＾２－９ａ＾２ｘ＋１２ａ＾２　ａは定数。ａ≦０とし０≦ｘ≦２において常にｆ（ｘ）≧０を満たすａの範囲は？という問題で、
私は(1)ａ＝０(2)ａ＜０に分けました。
(1)ａ＝０の時、ｆ（ｘ）＝ｘ＾３なので満たします。(2)ａ＜０の時　ｆ´（ｘ）＝３ｘ＾２－６ａｘ－９ａ＾２
（３ｘ＋３ａ）（ｘ－３ａ）＝０　ｘ＝－ａ，３ａ
増減表を作ると、３ａ（これはマイナス）まで増加し、－ａ（これはプラス）まで減少しそこから増加、というグラフが考えられます。ｙ座標は３ａの時－２７ａ＾３＋１２ａ＾２でこれはプラスの値です。ｘが０の時１２ａ＾２もプラス。
そして(1)－ａ＜２つまりａ＞－２(2)ａ＝－２(3)－ａ＞２つまりａ＜－２と分けました。(1)ａ＞－２の時　５ａ＾３＋１２ａ＾２≧０(2)ａ＝－２の時８(3)－ａ＞２の時　－６ａ＾２－１２ａ＋８≧０と考えましたがどうでしょう？

回答No.1

endlessriver · ベストアンサー

大体あっていると思いますが、うまく論理がくみ取れないのですが、最後でaの範囲を定めるような話になっていません（それとも a<=0のすべてのaと言う意味か？）。
あと、最後の
＞(3)－ａ＞２の時　－６ａ＾２－１２ａ＋８≧０と考えま＞したがどうでしょう？
は誤りです（-a=10を代入すれば）。

増減表から、x=0が極大点の右にあるので、[0,-a]の範囲は減少で x>-aは増加ですから
１．極小点(x=-a)が　-a<=2の範囲にあれば f(-a)>=0をみたせばf(x)>=0 [0,2]が満たされる（このときはあなたが示したようにf(-a)>=0。すなわち、aの範囲は 0=<-a=<2）。
２．あとは、-a>2のときは極小点が[0,2]の右側に出てしまいますから最小値f(2)>=0をみたす aを決めればよいのです。
３．これらを併せて、0=<-a=<（2よりちょっと大きい数）。
となることが結論できます。

お礼

参考になりました！ありがとうございました！