近似式の証明

質問

（1+i）a=(1+j)b
が成立する時、任意のi,j,a,bに対し
j-i≒a-b
であることを級数を使って証明出来るという人がいます。
変数の条件等は一切無しです。私は出来ないと思ったのですが、もし出来るなら教えて下さい。
（２つ目の式は近似式です）

回答No.4

adinat · ベストアンサー

まず質問者様のおっしゃるようにこのことは正しい事実ではないです。
もし(1+i)a=(1+j)bが成立しているときj-i≒a-bであるなら、
たとえばi,jだけは固定して、a→ka、b→kbとすることにより、
j-i≒k(a-b)とならなくてはいけませんが、k次第でいくらでも右辺は
大きくなりますので近似とはいえません。
従ってi,j,a,bになんら条件が要らないというのはそもそも嘘です。

で、おそらく意図していると思われるのは、
|i|,|j|<<1、a,b～1ということではないかと思います。
a=1+c、b=1+dとおけば|c|,|d|<<1という条件だと思うわけです。
(<<1は十分小さいという意味)
そうすれば(1+i)(1+c)=(1+j)(1+d)だから、
1+i+c+ic=1+j+d+jdとなり、i+a+ic=j+b+jdが得られます。
i,a,j,bに比べてicとjdは十分小さいのだから、
i+a≒j+bだという理屈です。

i+a+ic=j+b+jdまでは等式変形です。そして最後の結論を得るのに
おそらくicとjdを二次微小量として無視するということをやります。
この結論を得るためにはi,c,j,dが微小量でなくては意味がありません。
従ってi,jが小さく、かつa,bが1に近いということが命題が成り立つ
ためのほとんど必要十分な条件になっているのだと思います。
偶然ic-jdがめちゃくちゃ小さいということがあれば、
j-i≒a-bが成り立つこともあるでしょうが、たまたまな結果を
近似式とは言いませんものね。

お礼

ご回答ありがとうございます。
お話しの通り|i|,|j|<<1、a,b≒1の条件が付けば出来るようですね。私もこういう条件があるのではと思い尋ねましたが、無いとの返事でしたので、え？なんで？と思ったのです。

回答No.3

kabaokaba

（1+i）a=(1+j)b
だから比にもってきて
(1+j) : (1+i) = a : b
比が等しいから「その差」は近い
なんていうとんでも論理かもしれません
＃「級数」ってのが謎ですが

75%に縮小コピーされたものを
もとのサイズにしたくて
125%の拡大コピーをする人がたまにいますが
それと似たようなものかもしれません

お礼

ご回答ありがとうございます。
相似関係にあるとか、そういうことだったのかも知れませんね。

回答No.2

ojisan7

（1+i）a=(1+j)b
が成り立つ任意のi,j,a,bに対し、
j-i≒a-b
は成立しません。不可能です。近似的にも成り立ちようがありません。わたしには、宇宙人の考える問題のように思えます。これ以上、この問題には深入りしない方が良さそうです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
助言の通りにしたいと思います。

回答No.1

ojisan7

i,j,a,bは何ですか？普通の実数だとすると、意味のない近似式ですね。「証明できる」または、「証明できた」と主張する人は宇宙人ではないでしょうか。

補足

条件無しというからには任意の複素数です。その人は文系とはいえ大卒のようなので。しかし、常識的な変数の使い方をしてるならi,jは自然数、a,bは実数だと思います。彼の主張はともかくとして、ここでは以下の条件でお願いします。
i,j:自然数
a,b:実数
これだってかなり無理があるように思えます。