等差数列

質問

第7項が４９、第16項がー５となる等差数列〔an〕の初項を求めるのはわかるのですが、この初項から第n項までの和Snが最大となるときのnの値、および最大値Snを求める方法がわかりません。

Snの最大値とan>=０とはどんな関係があるのでしょうか？
どうしてan>=0がでてくるのでしょうか？

回答No.4

fushigichan · ベストアンサー

boku115さん、こんにちは。

＞第7項が４９、第16項がー５となる等差数列〔an〕の初項を求めるのはわかるのですが、この初項から第n項までの和Snが最大となるときのnの値、および最大値Snを求める方法がわかりません。

等差数列なので、

a[n]=a[1]+(n-1)d

ですよね？a[1]:初項、d:公比です。
第n項までの和は、

S[n]=a[1]+a[2]+・・・+a[n]
=a[1]+(a[1]+d)+(a[1]+2d)+(a[1]+3d)+・・・{a[1]+(n-1)d}
=n*a[1]+{a+2+3+・・・(n-1)}d
=n*a[1]+{(n-1)n/2}d
=(1/2){2a[1]+(n-1)nd}・・・（★）

ということになると思います（公式ですよね）

ここで、まずa[1]とdを求めないといけないのですが、

a[7]=a[1]+6d=49
a[16]=a[1]+15d=-5
-----------------
-9d=54
d=-6
a[1]=49-6(-6)=49+36=85
ということになるので、初項８５、項比ー６の等差数列となるでしょうか。

項比がマイナスなので、初項が最も大きく、どんどん小さくなっている数列なんだな、と分かると思います。

一般的な第ｎ項までの和の公式（★）にあてはめて、
nについての２次式にして、最大となるnを求めたらいいですよ。

＞Snの最大値とan>=０とはどんな関係があるのでしょうか？

初項が８５で、公比がー６と、どんどん減っていくので、
a[n]≧0
の部分しか足したらだめですよね？
というか、

a[k]>0,a[k+1]<0
となってしまうkは必ず存在しますが、ここでa[k+1]まで足しちゃうと
a[k]まで足したものよりは、マイナスのものを足すので絶対小さくなってしまいますよね？
だから、項がマイナスでない部分しか足せないんですよね。

ちょっと考えてみてくださいね。ご参考になればうれしいです。

回答No.3

stone_wash

もう公式とか覚えてないから解かないけど、解法なら頭にうかびますｗ

まず、
第７項⇒正
第１６項⇒負
ということより、a[n]はだんだん減少してく数列ということがわかります。
即ち、はじめは正でも、ある程度すすむと負になるといことです。

では、S[n]とはなんなのだろかと考えます。
S[n]=a[1]+a[2]+a[3]+a[4]+…+a[n]
　　　正－－－－－－0－－－－－負
ですよね？
したがって、S[n]が最大をとるのは、正のa[n]しか足してないときです。
ですから、a[n]≧0という式（実際はnの方程式)を解いて、a[n]の正から負に切り替わる地点を知るのです。

回答No.2

1985blueeye

ＮＯ１です。

＞Snの最大値とan>=０とはどんな関係があるか

例えば、a1=3,d=-1の等差数列だと、
an=-n＋４となり、第一項から順に書き出すと

３、２、１、０、－１、－２・・・となります。

和Ｓｎが最大になるのは３＋２＋１（＋Ｏ）のとき。
－１までたすと、和は最大にならないでしょ！？

だからSnが最大値になる＝an>=０になるんですよ(^O^)

わかりにくかったらごめんなさい<(_ _)>

回答No.1

1985blueeye

この問題が参考になると思いますよ★

参考URL：

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack/m/kai_062.htm