不等式||||x+a|-b|+a|-b|≦1

質問

xに関する不等式
　　　||||x+a|-b|+a|-b|≦1
が -1≦x≦1で常に成り立つとき，点 (a,b) の存在する範囲は添付図のようになるのですが，
どのようにして導くのでしょうか？

回答No.3

noname#133363 · ベストアンサー

回答1の「左辺が最大になるのは、|||x+a|-b|+a|が最小になる時」は、とんでもない勘違いっすね。

一応、a≧0、b≧0の場合だけ訂正しときます↓

不等式の左辺をf(x)と置くと、この場合、
f(x)=|||x+a|-b|+a-b|。

fは（定義域を無視すると）-a≦0に関して対称（f(t+a)=f(t-a)）だから、x≧-aだけ考えれば十分。

(1) f(x)=||x+a-b|+a-b| (x≧-a)。

a>bの場合：
f(1)=1+a-b+a-b=1+2(a-b)>1で、不等式は成り立たない。

a≦bの場合：
(1)のf(x)が最大になるのは、|x+a-b|=|x-(b-a)|が最大か最小のとき。
これが可能なのはx=-a、b-a、1のどれか。
x=-aはa≦1の時のみ可能で、f(-a)=a≦1。
x=b-aはb-a≦1の時のみ可能で、f(b-a)=b-a≦1。
また、もし1-(b-a)≧0なら、
f(1)=||1-(b-a)|-(b-a)|≦(1-(b-a))+(b-a)=1。
もし1-(b-a)<0なら、
f(1)=||1-(b-a)|-(b-a)|=|((b-a)-1)-(b-a)|=1。
というわけで不等式は成り立つ。

その他の場合も、絶対値記号をできるだけ減らし、左辺を最大にしそうなxの候補を当たれば、何とかなります。

一番大変そうなのはa≦0、b≧0の場合。
この場合、fは-a≧0に関して対称だから、x≦-aだけ考えれば十分。
x≦-aではf(x)=|||x+a+b|+a|-b|であることが分かると、少し気が楽に。

お礼

ありがとうございます。

|x+a-b|=|x-(b-a)|が最大か最小のとき、これが可能なのはx=-a、b-a、1のどれか。

と考えていくのは、すばらしいと思いました。

回答No.2

info22_

aを
a<=-1,-1<a<0,a>=0
で場合分けして、-1≦x≦1で不等式が常に成り立つようなbの範囲を求めればよい。

実際に求めると
a<=-1の場合　0<=b<=-a
-1<a<0の場合　0<=b<=1
a>=0の場合　b>=a
と求まります。

これらを満たすa,bの範囲を(a,b)の存在領域として図示すれば添付図のようになります。

お礼

ありがとうございます。

場合わけをして、左辺のグラフを頑張って書いていけばいいのですね。

回答No.1

noname#133363

添付図は?

かなり地道だけど方法を一つ。
a、bの符号で場合分けして、左辺の最大値が1以下になる条件を求める。

例としてa≧0、b≧0の場合。

左辺が最大になるのは、|||x+a|-b|+a|が最小になる時。
|||x+a|-b|+a|が最小になるのは、||x+a|-b|が最小になる時。
||x+a|-b|が最小になるのは、
(1) |b-a|≦1で、x=b-aの時、最小値0
(2) |b-a|>1で、x=1の時、最小値|1+a-b|
のどっちか（(2)は|x+a|のグラフを描くと分かりやすい）。

(1)の場合、不等式の左辺は|a-b|なので、成り立つ。

(2)の場合、
(2-1) a≦bで、|1+a-b|=(b-a)-1
(2-2) a>bで、|1+a-b|=1+a-b
のどっちか。

(2-1)の場合、左辺は1なので、成り立つ。
(2-2)の場合、左辺は1+2(a-b)>1なので、成り立たない。

お礼

ありがとうございます。

a,bがそれぞれ正か負で場合分けし、さらの絶対値の中身の最大や最小を考えて、絶対値をはずしていくのですね。