Blochの定理

質問

Ｈ（ハミルトニアン）の固有状態はＵ(a)（並進演算子）の同時固有状態であることから、Blochの定理が示されると参考書に書いてありましたが、どのように説明できるのでしょうか？教えてください。

回答No.2

gontarohk · ベストアンサー

#1の説明でOKなのですが、もう少し数学的に詳しくお話しましょう。
併進演算子の集合は数学の言葉で「群」となります。つまり、U(a)とU(b)の２つの併進演算子の積U(a)*U(b)も同じ併進演算子の集合の要素です。U(a)とU(b)の併進操作はどちらを先にしても結果は同じですので、この群は可換群です。（U(a)*U(b)=U(b)*U(a))
群には既約表現と言うものがあり、可換群の既約表現は１次元であるという数学の定理があります。これを言い換えれば、併進群の既約表現となる関数をψとすれば、ψに併進演算子Uを作用させた結果は、元のψの定数倍（λとします）になるということです。
　　Uψ=λψ
ですね。併進演算子はユニタリですので、定数λの絶対値は１で、λ=exp(iα)の形になり、
　　U(a)ψ(r)=ψ(r+a)=exp(iα)ψ(r）
となります。
このような条件を満足するのは
　　ψ(r)=exp(ikr)Φ(r)
　　Φ(r+a)=Φ(r)
　　　( α=ka ）
であるということになります。

ハミルトニアンが併進演算子と可換であることは、ハミルトニアンの固有関数が併進群の既約表現で表されることを意味します。

回答No.1

goma_2000

ハミルトニアンの固有状態と並進演算子が同時固有状態を持つとは、2つの演算子が可換であるということですね。
※ハミルトニアンのポテンシャル項がV(x)=V(x+a)と書けるということです。

ですので、その固有状態φは並進演算子Uを用いると
Uφ＝λφ
とかけ、周期的境界条件
U^Nφ=λ^Nφ=φ
を課すことで、
λ＝exp(-ika)
より、
φ(x+a)=exp(-ika)φ(x)
となります。