量子力学について質問です。

質問

量子力学について質問です。
基底を{|a'>}から{|b'>}へ変換するユニタリー演算子をUとします。
ただし、A|a'>=a'|a'>、A|a''>=a''|a''>などとします。
このときU=Σ[a']|b'><a'|となります。すなわちU|a'>=|b'>などとかけます。
このときUAU^(-1)=A'とかくとA'は{|b'>}を基底としたときの演算子Aの表示ということになりますよね？
一方、A|a'>=a'|a'>よりUAU^(-1)U|a'>=a'U|a'>となるので、これを
[UAU^(-1)](U|a'>)=a'(U|a'>)と見ると
演算子UAU^(-1)は固有値a'、固有ベクトルU|a'>を持つということが言えますよね？
さらに一方、B|b'>=b'|b'>なので比較するとBとUAU^(-1)が同時に対角化できることを表しています。
質問はここからなのですが、UAU^(-1)は物理的にはAと同じもの、すなわち同じものの別の基底での表示と解釈しているのですが、これがBと常に同時に対角化できるという結論に至ってしまいます。AとBが交換可能なときに同時に対角化できるはずなのですが、これはどういうことでしょうか？UAU^(-1)とBが同時に対角化できるのであってAとBが同時に対角化できるかどうかは別なのでしょうか？その場合、UAU^(-1)はAの別の表示という解釈では矛盾しているように感じるのですが。。。
これらの関係は何を意味しているのかを明示しながら説明してくださると助かります。

回答No.4

eatern27 · ベストアンサー

>つまりU(σ_x)U^(-1)=σ_zとなり、
左辺も右辺も
(1 0)
(0 -1)
となりますので、確かに「等しい」のですが、、
左辺はσ_xの固有状態を基底にした時のσ_xの表現行列、
右辺はσ_zの固有状態を基底にした時のσ_zの表現行列
だというのは分かっていますか？

というか、
>|a>をσ_z(パウリ行列)の固有ベクトル、|b>をσ_xの固有ベクトルなどとして考えれば
と書いたのになぜ、Uσ_xU^(-1)が出てくるのですか？
A=σ_zなのだから、計算するのならUσ_zU^(-1)でしょう？

>U(σ_x)U^(-1)とσ_zが同時に対角化できることが言えました。
違う基底のときの話ですので、「同時に対角化できた」という言い方はしません。

>Uの定義は|b>=U|a>です。
Uをそのように定義するのなら、基底|b>で書いた時のＡの表現行列はUAU^(-1)ではなくU^(-1)AUです。

σ_zとσ_xの組み合わせだと(普通にσ_z,σ_xの固有状態を選ぶと)Ｕが実対称行列になってしまうので、
σ_zとσ_yとかで考えたらどちらが正しいのか分かるはずです。

>私が言いたいことはUAU^(-1)とBが同時に対角化可能→UAU^(-1)とBは交換可能?
>ということです。Bの基底は当然|b>です。
基底|b>で表現したときの、演算子Ａの表現行列は一般には対角行列にはなりません。
実際、基底|b>で表現したときの表現行列がU^(-1)AUとすれば、これが対角行列になるという結論は得られませんよね。

回答No.3

eatern27

>その場合、σ_zと対角化するとσ_xに一致しました。これってどういうことなんでしょう？単なる回転なので当たり前だとは思うんですが、同時に対角化できたってことにはなるんでしょうか？
σ_xは対角行列ではありませんので、対角化はできていませんよね。

>私が持っている本にはすべてこう書かれているのですが、定義が違うのかな？
定義が違うと言えば確かにそうですが、一番あり得そうなのは、

あるベクトルvを
|a>たちを基底として書いた時の座標(x_1,x_2,・・・)^t と
|b>たちを基底として書いた時の座標(y_1,y_2,・・・)^tが、

Ｕ(x_1,x_2,・・・)^t＝(y_1,y_2,・・・)^t

なる関係を満たすようにＵを定義したのに、これを
Ｕ|a>=|b>
という意味だと解釈したとかかな。

>ではUAU^(-1)とBが交換可能であることは正しいですよね？
演算子Ａの基底{|b>}での表現行列と演算子Ｂの基底{|a>}での表現行列は一般には非可換です。

>これがピンとこないんですが、物理的にはどういうことを表しているのでしょうか？
基底の違う表現行列が可換か非可換かという事に物理的な意味は何もありません。

>「すべてのオブザーバブルな演算子は、任意の他のオブザーバブルな演算子の固有ベクトルを基底として対角型で書ける」という解釈は正しいですか？
正しくありません。

お礼

回答ありがとうございます。
>σ_xは対角行列ではありませんので、対角化はできていませんよね。

すみません。σ_xを対角化するとσ_zとなりました。つまりU(σ_x)U^(-1)=σ_zとなり、U(σ_x)U^(-1)とσ_zが同時に対角化できることが言えました。

>Ｕ(x_1,x_2,・・・)^t＝(y_1,y_2,・・・)^t

なる関係を満たすようにＵを定義したのに、これを
Ｕ|a>=|b>
という意味だと解釈したとかかな。

Uの定義は|b>=U|a>です。

>演算子Ａの基底{|b>}での表現行列と演算子Ｂの基底{|a>}での表現行列は一般には非可換です。

私が言いたいことはUAU^(-1)とBが同時に対角化可能→UAU^(-1)とBは交換可能?
ということです。Bの基底は当然|b>です。

>基底の違う表現行列が可換か非可換かという事に物理的な意味は何もありません。

上に書いたとおり、ともに基底|b>でという意味です。この場合の物理的意味はどうなりますか？
パウリ行列の場合はS_xとS_zの固有値の組は同じものであることを意味すると思うのですが、これを一般的にいうとどうなるのでしょうか？

回答No.2

gooKWave

系全体がユニタリ変換を受けているので、
演算子BもUBU^(-1)になっているはずです。

元の系での[A,B]に対応するのは、
[UAU^(-1),UBU^(-1)]
ではないですか？

お礼

おっしゃるとおりですね。勘違いしていました。
ではUAU^(-1)とBが交換可能であることは正しいですよね？これがピンとこないんですが、物理的にはどういうことを表しているのでしょうか？抽象的で申し訳ないんですがお願いします。
「すべてのオブザーバブルな演算子は、任意の他のオブザーバブルな演算子の固有ベクトルを基底として対角型で書ける」という解釈は正しいですか？他に分かりやすい解釈があれば教えてください。

もう一つ新たに疑問が生じたのですが、このことは位置と運動量についても言えることでしょうか？

回答No.1

eatern27

|a>をσ_z(パウリ行列)の固有ベクトル、|b>をσ_xの固有ベクトルなどとして考えればどこが間違っているのかはすぐに分かる気がしますが、そういう事はしました？

きちんと考えてませんが、
>このときUAU^(-1)=A'とかくとA'は{|b'>}を基底としたときの演算子Aの表示ということになりますよね？
U^(-1)AUのような気が。

お礼

回答ありがとうございます。

>|a>をσ_z(パウリ行列)の固有ベクトル、|b>をσ_xの固有ベクトルなどとして考えればどこが間違っているのかはすぐに分かる気がしますが、そういう事はしました？

その場合、σ_zと対角化するとσ_xに一致しました。これってどういうことなんでしょう？単なる回転なので当たり前だとは思うんですが、同時に対角化できたってことにはなるんでしょうか？

>U^(-1)AUのような気が。

私が持っている本にはすべてこう書かれているのですが、定義が違うのかな？