◇ペロンフロベニウスの定理◇

質問

ある本を読んでいて”ペロンフロベニウスの定理”というのが出てきましたが、この定理の意味が理解できません。ご存知の方がいらっしゃったら是非教えてください。よろしくお願いします。ネットで調べたら「Aの全ての成分が正のとき、Aは少なくとも１つの固有値をもち、その固有ベクトルの成分が正になるようにできる」とありましたが、よくわかりません。

回答No.2

Longifolene · ベストアンサー

行列と線形変換に関しては高校とか大学の数学の教科書を読んでください。一冊、場合によっては数冊の本になる分量があるのでこんなところで聞いて回答が得られるようなものではないですから。

固有値、固有ベクトルは
行列Aで表される線形変換をあるベクトルに作用させたときに、単に定数倍されるだけのとき、ベクトルをAの固有ベクトル、何倍されるかをAの固有値と呼びます。
なお、数式で表すとAe=λe。これは右辺を左辺に移項すると(A-λE)e=0となります。eが0以外のベクトルとなる条件が行列式|A－λE|=0で教科書に載っている定義となります。

ある固有ベクトルの定数倍も同じ固有値を持つ固有ベクトルです（線形変換ですから）。なので固有ベクトルの集合を線形変換すると同じ固有ベクトルの集合が得られます。

ということでペロン・フロベニウスの定理は
すべての要素が正の線形変換においては必ずその線形変換で不変なベクトル集合があって、その集合に属するベクトルの成分の符号はすべて同じ（すべて負なら負の定数を掛けてすべての成分が正になるようにできるので）
ということになります。

お礼

Longifoleneさま

丁寧なご説明ありがとうございます。
今からじっくりと考えて見たいと思います。

また質問させていただくかもしれませんが
その際はどうぞよろしくお願いいたします^^

ありがとうございました。

回答No.1

Longifolene

行列については分かっていますか？

あとその固有値、固有ベクトルについてはどうでしょうか？

補足

早速のご連絡ありがとうございます。
行列の知識もなく、よくわかりません。本を調べて出てくる数式の意味が理解できないのです...。

線形代数学　倍風館　という本で調べたところ
次のように定義づけされていました。

正方行列Aに関して方程式｜A－λE｜=0（未知数はλ）をAの固有方程式、その解をAの固有値といい、解λに応じて定まる（A－λE）e=0を満たすeを固有ベクトルと呼ぶ。

これを読んでもわかりません。
お手数かけて申し訳ありません。教えてください。。。