行列についての質問です

質問

下に書いてあるV1～V4は列ベクトルだと思ってください。

V1=(1,0,2,-1) V2=(3,1,2,0) V3=(5,2,1,-2) V4=(-1,-2,3,-2)で、
Vは[V1,V2]で張られる部分空間、Wは[V3,V4]で張られる部分空間であるとしてV+W,V∩Wの求め方を教えてください。

線形代数の予習でよくわからなくて困っています。
宜しくお願いいたします。

回答No.2

uyama33 · ベストアンサー

ベクトルを横に書きます

１、０，２，－１
３，１，２，０
５，２，１，－２
－１，－２，３，－２

一行目を何倍かして２行目３行目．．に加えて

１，０，２，－１
０，１，－４，３
０，２，－９，３
０，－２，５，－３

さらに２行目を何倍かして３行目．．にくわえて

１，０，２，－１
０，１，－４，３
０，０，－１，－３
０，０，－３，３

さらに３行目を何倍かして４行目に加えて

１，０，２，－１
０，１，－４，３
０，０，－１，－３
０，０，０，１２

これから、４つのベクトルはすべて独立で
Ｖ＋Ｗ＝Ｒ＾４
Ｖ∩Ｗ＝０

かな？

回答No.1

hismix

まずV+Wから考えます
v1,v2は明らかに一次独立よりdimV=2
またv3,v4も明らかに一次独立よりdimW=2です
ではdim(V+W)が４になるかといったらいつもそうとは限りません
これはその例になってるわけです。
だからV+Wの求め方としては、
v1,v2にv3を加えたときまた一次独立になるかということを調べ
仮に一次独立になったら、今度はv4も加えて一次独立になるか調べましょう。
（実際に計算してないのでこれは方針です）
仮にv4を加えたら一次従属になってしまったとしましょう。
するとこの時dim(V+W)=3で
V+W={sv1+tv2+uv3 ｜s,t,uはスカラー｝
と求まるわけです。

V∩Wも同じです
おそらくdimV∩W=1ですから
VとWに共通するベクトルを１つ見つければ、
（仮にそれをｖとすれば）
V∩W={sv|sはスカラー｝
となるわけです。