畳み込み積分の積分区間の特定について
統計の参考書中に、畳み込み積分の解説がされており、確率変数X、Yが独立ならば
f_XY(x,y)=f_X(x)・f_Y(y)と変形でき、
T=X+Yと新しい確率変数を定義した場合、Tの確率密度は
f_T(t)=∫-∞→∞ f_X(x)f_Y(t-x) dx
とあらわせる。
と書いてありました。
ここまではいいのですが次の例題で早くもわからなくなりました。
例題 ではX,Y独立でf_XY(x,y)に従うとき、
f_XY(x,y) = 1/9 (0≦x≦3,0≦y≦3) 0 (それ以外の(x,y)のとき)
ここでT＝X+Yによりあらたな確率変数Tを定義する。このときのTの確率密度f_T(t)を求めよ。
というところで、
独立より、∫0→3 f_X(x)dx = ∫0→3 f_Y(y)dy = 1を考慮に入れると、
f_X(x) = 1/3
となる。
ここまでは、全確率の関係と独立の関係から解釈はできたのですが、次の解説で
以上から積分区間は
(i) 0≦t≦3のとき
(ii) 3≦t≦6のとき
と場合分けができる。
(i)のときは0≦x≦tとなり、 (ii)のときはt-3≦x≦3になる
と書いてありましたがここの理解がまったくわかりません。
どうして積分区間が上記のことからi&iiの場合に分けられて、そしてそのときのxの区画までも表せるのでしょうか。
お恥ずかしいですがここの積分区間の理解ができていないので大変困っています。
ご指導お願い申し上げます。
お礼
そうですね！ありがとうございます