これらは０に収束するでしょうか？？

質問

ある行列をジョルダンを使って、自分で３次や４次の正方行列を２乗、３乗、４乗・・・としていくと、非０成分に規則性があり、

x^n , nC1*x^n-1 , nC2*x^n-2 , nC3*x^n-3,……(Cはコンビネーション)

が出てきました。
x<|1|という条件の元でこれらの極限(n→∞)を考えたいのですが、これらはうまく収束するでしょうか？！
力不足答えが出ずじまいです。nC2*x^n-2 , nC3*x^n-3など、もしよろしければ、極限の計算方法・指針など教えていただけると幸いです。どうかよろしくお願いいたしますm(_ _)m

回答No.3

ringohatimitu · ベストアンサー

Ｎｏ２さんの仰るとおりで０に収束しますね。
ちょっと別の級数と間違えていました。やはりその問題だったんですね。以前にも回答したことがありましたがジョルダン標準形になおすのもひとつの方法で他には具体的計算をしないで作用素ノルムとスペクトル半径の公式を使って簡単に示すこともできます。
いずれにせよ問題の級数は０に収束します。混乱させてしまってすみません。

お礼

以前もこの度もとても参考になる回答ありがとうございます！作用素ノルムとスペクトル半径でも示せるということでしたので、大学の授業ではやってなかったので本で調べてみました（勉強になりました）。ありがとうございますm(_ _)m

回答No.2

sunasearch

nＣkはn^kで抑えられるから、n^k*x^nの極限を考えるのと同じで、多項式より指数の方が強いから０になるんじゃないかな。

回答No.1

ringohatimitu

各ｋ、ｘに対してnＣk*x^(n-k)がｎ→∞のときに０に収束するかですよね？これはｋとｘを固定したとき発散するようです。というのはｋを固定すれば結局n!x^nのｎ→∞における極限を考えるのと同じことでこれは各ｘに対してｎに関し単調増加です。
ちなみに固有値の絶対値がすべて１より小さい行列の累乗が０に収束することと関係した問題でしたか？

補足

回答ありがとうございます！そうです！０に収束するかどうかの問題で、０に収束すれば思い通りなのですが、、発散してしまうでしょうか！？
そしてご指摘のとおり、ある行列固有値の絶対値が１より小さい行列の累乗(ｎ→∞)が０に収束することを示したいと思っております。