代数体に関して…

質問

いつもお世話になっています(>.<)

「代数体Ｋは素イデアルを無限に多く持つ」
ということを証明するにはどうすればいいのでしょうか？

とても気になってしまって…。どなたかよろしくお願いいたします(≧_≦)!!!

回答No.1

yoikagari · ベストアンサー

「Kが代数体」ではなく、「代数体Kの整数環」ですよね(体Kのイデアルは(0)あるいはK以外ありませんから)

O_Kを代数体Kの整数環とします(O_Kは有理整数環Zを含みます)。

pを素数とします
pからなるO_Kの単項イデアル(p)を考えます。
I_pを(p)を含むO_Kの極大イデアルとします。
極大イデアルは素イデアルですから、I_pは素イデアルとなります。

pが異なればI_pも異なります。
素数pは無数にありますので、O_Kには異なる素イデアルI_pも無数にあります。

お礼

大変わかりやすい回答、どうもありがとうございました！！！

なるほど☆納得です！とてもスッキリしました(^0^)
しかも質問文の微妙な間違いもご指摘くださり、大変感謝しております！

本当にどうもありがとうございました♪♪