行列式の計算

質問

| 0 a^2 b^2 1 |
| a^2 0 c^2 1 |
| b^2 c^2 0 1 |
| 1 1 1 0 |

上の行列式を計算したいのですが、対称性がありそうなので、単純に24個の組を計算するよりもラクに解ける方法があるのでしょうか？あるならばお教えください。
（WEBでは行列式の列がずれてしまうので、見づらかったらメモ帳やTextEditにコピペしてください）

回答No.2

gyth

4行が1，1，1，0となってますね。この場合は「行について展開する」ことができます。ご存知か分かりませんのでヒントを少し。例えですが、この場合は「3行について展開」してみます。
| a b c |
| d e f |＝a*|e f| +b*|d f| +c|d e|
| g h i | 　 |h i| |g i| |g h|
このような知識があれば問題の行列式を簡単な３行3列の行列式の足し算に直すことができます。どの行について展開すれば計算が簡単になるか考えて見てくださいね。

補足

行列式の展開については存じています。
ところでgythさんの例にある式の右辺のbの符号はマイナスになるのではないでしょうか。

しかし、それをヒントに第4行について展開してみたら解けました。ありがとうございます。

余談なのですが、この問題で何故a,b,cに2乗がついているのだろうという疑問に思いました。そして因数分解された答えが
-(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)
となっています。これにマイナスをつけると（例えばもとの行列を上下逆にすると）、ヘロンの公式の√の中身に類似していることから、題意の行列式は、幾何的に三角形の面積と関連があるのかと勘ぐってしまうのですが、どうでしょうか。

回答No.1

Tacosan

ん～, 何も考えずに最後の行と最後の列に 1 が 1個ずつしか残らないように変形していけばいいような....