この行列式を効率よく解く方法が見つかりません

質問

次の行列式を計算せよ。

|a bc a^2|
|b ca b^2|
|c ab c^2|

…タイトル通りですが、この行列式を効率よく解く方法が見つかりません。
もし、第二列をすべてabcに出来たら括り出して並べ替えてファンデアモンデを使うのですが…。
でも、第一列を第二列に掛けたら、違う行列式になってしまいますよね…。
まずは最初の一歩だけを教えてください。お願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

３行目を１行目と２行目から引き、(a-b)(b-c)で括る。
|1 -b a+c|
|1 -a b+c|(a-c)(b-c)
|c ab c^2|
2行目を１行目から引く。２行目をc倍して３行目から引く。(a-b)で括る。
↓
1列目をa倍して２列目から引く。一列目の(b+c)倍して３列目から引く。
↓
1行目をbc倍して３行目に加える。(ab+bc+ca)で括る。

お礼

返事が遅れてすみませんでした。

なるほど、こういう地道な方法しかないんですね。
こういうのが一番「どこから手を付けてよいのやら」と迷ってしまいます。
「1列目をa倍して…」を「1行目をa倍して…」と間違えて計算しちゃっていました。気を付けます。(^^ゞ
ありがとうございました！

回答No.4

Tacosan

明らかに交代式だから差積で割れる.
つまり
(与式) = (b-a)(c-a)(c-b)×(a, b, c の 2次の対称式)
という形になることが分かっていれば #2 の筋は容易に見えるはず.

お礼

なるほど、交代式であるかどうかを調べてみれば筋が見えるんですね。
そして、後はその筋通りにうまく括り出すように計算すればいいんですね。
よく考えれば交代式になってる問題が多いようです。
ありがとうございました！

回答No.3

nag0720

＃１のお礼欄に、

|a bc a^2|
|b ca b^2|
|c ab c^2|
＝1/(abc)*
|a^2bc ab^2c^2 a^3bc|
|ab^2c a^2bc^2 ab^3c|
|abc^2 a^2b^2c abc^3|

とありますが、
全部の項にabcを掛けるなら、前に出す係数は、
1/(abc)^3
にしなければなりませんよ。

お礼

仰る通りです！
行列のスカラー倍と勘違いしてしまっていたようです。
括り出すときは間違えないんですけど、掛ける場合はまだ慣れてないんですよね。
これでもう間違えませんよ！（多分）
ありがとうございました！

回答No.1

nag0720

ファンデアモンデとは違いますが、次のようにすれば簡単になりませんか。

|a bc a^2|
|b ca b^2|
|c ab c^2|
＝1/(abc)*
|a^2 abc a^3|
|b^2 abc b^3|
|c^2 abc c^3|
＝
|a^2 1 a^3|
|b^2 1 b^3|
|c^2 1 c^3|

お礼

ありがとうございます。

良い案ですね！
ただ、私の計算では
|a bc a^2|
|b ca b^2|
|c ab c^2|
＝1/(abc)*
|a^2bc ab^2c^2 a^3bc|
|ab^2c a^2bc^2 ab^3c|
|abc^2 a^2b^2c abc^3|
＝1/(abc)*(bc)(ac)(ab)*
|a^2 abc a^3|
|b^2 abc b^3|
|c^2 abc c^3|
＝(bc)(ac)(ab)*
|a^2 1 a^3|
|b^2 1 b^3|
|c^2 1 c^3|
となりました。合っていますでしょうか？
さて、これでスラスラと計算できると思ったのですが、行き詰まってしまいました。
余因子展開すると逆に複雑になりましたので、サラスで解きます:
＝(bc)(ac)(ab)*(a^2c^3 + b^2a^3 + c^2b^3 - a^3c^2 - b^3a^2 - c^3b^2)
…ここまでは良いと思うのですが、次にどうまとめればよいのでしょうか？
＝(bc)(ac)(ab)*{(c^3-b^3)a^2 + (a^3c^3)b^2 + (b^3-a^3)c^2}
…と、やって三次の項を展開しても共通のものは見つかりません。
次の一歩も教えていただけると光栄です。

ちなみに本の答えは
-(a-b)(b-c)(c-a)(ab+bc+ca)
となっています。