論理

質問

某参考書にこうかいてありました。
どういうことでしょうか？？
Pは「1つの解をαとするとα^2も解である」

P⇔「α^2＋pα＋q＝0ならばα^4＋pα^2＋q＝0」
⇔『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋q＝0で割り切れる』
とするのは間違いです.というのは,この『　』はα^2＋pα＋q＝0
をみたすαが2つある場合,どちらのαもα^4＋pα^2＋q＝0,ということを意味し,
それは2解をα,βとすれば「α＝β^2かつβ＝α^2」を意味するから。

＞この『　』はα^2＋pα＋q＝0
をみたすαが2つある場合,どちらのαもα^4＋pα^2＋q＝0,ということを意味

割り切れるとどうしていえるのでしょうか？

＞それは2解をα,βとすれば「α＝β^2かつβ＝α^2」を意味するから。

これも、どういうことかいまいちわかりません。
説明していただけませんか？？

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

たぶん、Pはこういう意味なのかな、と思います。
----------------------------------
Pは「x^2+px+q=0 の２つの解は、１つの解がもう１つの解の２乗に等しいという関係にある」
あるいは、
Pは「ある s が存在し、x^2+px+q=0 の２つの解が、sとs^2になる」
----------------------------------
これを前提として、ご質問を検討します。
[命題1]
P⇔「α^2＋pα＋q＝0ならばα^4＋pα^2＋q＝0」
これは←は成立しますが、→は成立しません。

←の証明：sをx^2+px+q=0 の解とすると、上の「 」より(s^2)^2+p(s^2)+q=0である。よって、s^2 はx^2+px+q=0の解である。（証明終）

→の反例：p=-6,q=8のとき、s=2としてPが成立する。α=4とすると、α^2＋pα＋q＝0は成立するが、α^4＋pα^2＋q＝0は成立しない。よって、「真→（真→偽）」であるから命題は偽である。（反例終）
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[命題2]
「α^2＋pα＋q＝0ならばα^4＋pα^2＋q＝0」
⇔『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋qで割り切れる』

※『 』内の“=0”は余計なので除きました。

これは正しいです。『』内の商をf(α)、余りをuα+vとして、
α^4＋pα^2＋q = (α^2＋pα＋q)f(α)+(uα+v) とおきます。

→の証明：
α^2＋pα＋q＝0が重解をもつ場合は、「」よりα=α^2ですから重解はα=0またはα=1に限られます。重解がα=0のときはp=0,q=0なので『』が成立します。重解がα=1のときはp=-2,q=1なので『』が成立します。

α^2＋pα＋q＝0がαに関して異なる２解をもつ場合は、「」内より、
　α^2＋pα＋q＝0　⇒　uα+v＝0
異なる２解についてuα+v＝0であれば、u=0かつv=0ですから『』が成立します。

←の証明：『』よりu=0,v=0とすることができるので、「」が成立します。（証明終）
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『α^4＋pα^2＋qがα^2＋pα＋qで割り切れる』
⇔「x^2＋px＋q＝0の2解をα,βとすればα＝β^2かつβ＝α^2」

これは、←は成立、→は不成立です。
←は、[命題2]の→により成立します。
→の反例：
x^2-x=0の２解は0,1です。x^4-x^2はx^2-xで割り切れます。0の２乗は1ではありません。
x^2-1=0の２解は1,-1です。x^4-1はx^2-1で割り切れます。1の２乗は-1ではありません。

よくわからないときは、補足してください。

お礼

補足、本当に申しわけありませんでした、
私があいまいなことを書いてしまったがために・・・・
全文を書いて、新しく質問しました。一応貼っておきます。
http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1600467

補足

返信遅れてすいません。
何の解決にもなってません・・・・・
わからないところはそういうことでは・・・・・
やはり、話が食い違っているような気がします。
申し訳ないのですが、もう一度、正式な形(全文)で質問させていただきたいと思います。
すいませんでした。

回答No.1

shkwta

＞Pは「1つの解をαとするとα^2も解である」
これは、２つの意味にとれるので、あまり良くない表現です。

(ア)「２つの解のうち、任意の一つをαとすると、α^2も解である」
(イ)「２つの解のうち、ある一つをαとすると、α^2も解である。別の一つをβとすると、β^2は解であるかどうかはわからない」

その参考書では(イ)の意味で使っているのでしょう。
-----------------------------------
(ア)は、２つの解のどちらも、２乗すると、それがまた解になることを意味します。参考書の記述とは異なり、２つの解をα、βとすると、つぎのいずれかの場合が当てはまります。

(ウ)「α＝β^2 かつ β＝α^2」
(エ)「α＝α^2 かつ β＝β^2」
(オ)「α＝α^2 かつ α＝β^2」

例は

(ウ)　x^2 + x + 1 = 0
(エ)　x^2 - x = 0
(オ)　x^2 - 1 = 0

ということで、参考書の記述は、適切でないと思います。

補足

う～ん、間違えてるとはいえないと思います。。
そこまで信用できない参考書では無いので（大手
多分、私の書き方が悪かったのでしょう。
Pはもともと
1つの解が他の会の平方
の同値変形でした。。
それでも、おかしいでしょうか？？