(√x)=-1について

質問

単純な質問で恐縮なのですが、(√x)=-1となるxは実数の範囲で存在するのでしょうか？　存在しないなら、複素数の範囲ならこれを満たすxが存在するのでしょうか？

実は、y=-ln(x)の凸性を用いてヘルダーの不等式（Σがついてないもの）が導かれる、という説明を見ていた時、「xが全実数を動く時、xのp乗 (0<p<1)が全実数を動く」ということを暗に使っている気がしたのですが、全く自明なことではないと思い、例えばp=1/2、y=-1の場合にy=x^pとなる実数xが存在するのかを質問させてもらいました。よろしくお願いします。

回答No.4

guuman · ベストアンサー

それでは、中学での「関数」の定義が「子供だまし」ということですか？：
実数もそうですがそれは直感で逃げることができますが
複素数は直感では無理がありすぎちゃんと定義しなければならないのです
まともな定義は「解析概論」（岩波、高木貞治）の付録に有ります

或いは、√に対する解を区別する、別の（正のほうをとる以外の）方法があるということでしょうか？：
ないから２つを認めざるを得ないのです
多価関数としなければならないのです

（例えば、両者が必ず原点対称の関係にあることに注目して、偏角が0≦θ＜πのほうを採用する、など）：
そんな作為的な定義は駄目なのです
例外の有る規則はないのです
右半平面にあるものだけにすると言う規則は井戸の中の蛙なのです
角度を０≦Θ＜２・πに限定すると三角方程式を解くときに困るのと同じでその場しのぎをすると後で公開するのです

正の実数の場合だけはOKですが複素数の範囲でものごとを考えている場合には駄目です
正当な方法がないのですから

回答No.7

guuman

百科事典『ウィキペディア（Wikipedia）』
はなかなかいいサイトですが
中には不適切な解説があります

－１＝ｉ・ｉ＝√－１・√ー１＝√（－１・－１）＝√１＝１
の間違いが
√－１・√ー１＝√（－１・－１）
のところからとしているところです
複素数を理解していない人が書いたのでしょう
ｉ・ｉ＝√－１・√ー１
から間違いなのです
複素数のいいかげんな定義
ｉ＝√ー１
が災いしています
ちゃんとした定義によれば
√－１＝±ｉ
を導くことができます
これは定義ではありません
本当の定義から簡単に証明されうる等式なのです

√－１・√ー１は±ｉと±ｉの積を意味し無意味なのです
２つの値同士の積ですからおかしいのです
｛ｉ，－ｉ｝と｛ｉ，－ｉ｝の積を取り決めていなければなりません
左辺ｉ・ｉはひとつの値とひとつの値の積であり合法演算でありの１つの値しか有りません

これを書いた人のように理解しているつもりになっている人は結構多いのでだまされないように注意しないと複素数に混乱させられます

回答No.6

guuman

√ｘの定義は
ｘが０以上実数の世界という前提では０以上の値と慣例的に定義されます
ｘが０以上の実数以外も考える場合には定義ははっきりしていて断らない限り
２つの値を持つのです

このことは曖昧ではなくはっきりしています
右半平面にあるものだけにすると言う前提を付ける場合は特別な場合であってあまり多くないでしょう

ｌｏｇ（ｘ）も多価関数ですが複素数を考えている場合には主値を意味するときには断るのです
断らないときにはいつでも多価です
だから√ｘも同様です

数学は曖昧でないので曖昧に定義していません

複素数範囲では√１＝±１、√４＝±２です
これを理解していると中学生高校生の複素数による混乱はほとんどなくなります

お礼

ありがとうございました。解決しました。

つまり、xが0以上の実数のときは√xとして正のほうを採用してしまうため、√x＝-1を満たす解は存在しないが、xを複素数などの範囲にした場合、そもそも√の意味が変わってくるから、"√x=-1"が解を持つようになるんですね。

"√x=-1"を解くのに、わざわざ複素数に拡張したのに、結局代入するのは実数じゃないか…と思って混乱していましたが、複素数に拡張することで式の意味が変わってきて、解を持つわけですね。

回答No.5

UKY

いやそもそも「√x」の定義そのものが曖昧なんですよ。

正数xに対して「自乗してxになる数」と「√x」が完全にはイコールではないのに、一般の複素数xに対しては「自乗してxになる数」と「√x」がイコールであるなどと定義してしまうから、「√xは関数ではない???」などということになってしまうのです。

「√x」とは「自乗してxになる数」である、というのは「√x」の定義の仕方の一つに過ぎません。
「√x」を一価関数(=本来の意味での関数=我々が中学で習った意味での関数)にしたければ、そういう風に定義すればいい(詳しくは参考URL)。
初めに変な定義を作ってしまうからその後の議論で混乱するわけで、それがいやならもっといい別の定義を採用すればいいことです。

正数に対して「√x」とは「xの正の平方根」である、というのはすべての数学者が認める定義です。しかし複素数の範囲では「√x」に対してすべての数学者が共通して認める定義がない。だから我々はまず議論の前に「√x」を定義しなくてはなりません。
定義の仕方によって、「√x」が一価関数になることもあるし、ならないこともあるでしょう。

「√x」が一価関数にならない定義を選んでしまったから、これまでの「√x」の定義と矛盾して混乱した。ただそれだけのことです。

ところで私はguuman氏がおっしゃった「そんな作為的な定義は駄目なのです 例外の有る規則はないのです」という言葉の意味が分からない……。少なくとも「作為的」「例外」の意味が客観的に定義されない限りは。

参考URL：

http://ja.wikipedia.org/w/index.php?title=%E5%B9%B3%E6%96%B9%E6%A0%B9&oldid=2664046

回答No.3

guuman

中学高校では子供だましです
複素数の定義もいいかげんですし
賢明な人は混乱しないはずがないのです
実数の範囲でのみ考えるならば
「慣例」でOKです
だから複素数を考えない範囲であれば問題ありません
複素数の範囲で物事を考えると
√（正実数）は常に２つ値があるのです
なにしろ区別がつかないのだからどっちをとっていいかわからないでしょう

補足

えっと、たびたびすみません。
それでは、中学での「関数」の定義が「子供だまし」ということですか？
或いは、√に対する解を区別する、別の（正のほうをとる以外の）方法があるということでしょうか？（例えば、両者が必ず原点対称の関係にあることに注目して、偏角が0≦θ＜πのほうを採用する、など）

回答No.2

guuman

複素数の範囲だと
ａを複素数として
√ａ
の定義は
ｚ＾２＝ａ
を満たすｚです
必ず２つ有ります
もし複素数としてａを１とするならば
ｚ＾２＝１
の解は１と－１だから
√１＝±１
です
だから
√ｘ＝－１
を満たすｘは√を複素関数で定義されるものとするならば
１です
だから存在します

何しろ
複素数の場合
√ｉ＝±（１＋ｉ）／√２
ですが
複素数として
（１＋ｉ）／√２と－（１＋ｉ）／√２
を区別する手段がない以上
複素数としては１と－１を区別する手段がありません
実数だけ正負がありますが
特別扱いしてはいけない複素数では正負はないのです
順序がない以上√１は１と－１です
√ａ
は
ｘ＾２＝ａ
を満たすｘのうち正の方
という変則的な定義が通用するのは実数に限定したときだけです
しかも便利だから慣例でそうしているだけです

補足

えっと、複素関数では√x=aを満たすaはxに対して2つ存在するのですか？確かに、私も√iを表す2つをどう区別するのかは気になっていましたが、しかし2つとも認めてしまうと、y=√xは「関数」とは呼ばないのでしょうか？
ここで、「関数」と言ったのは、確か中学の頃、「xを定めればyが一意に定まる時、yをxの関数と呼ぶ」と習ったので、（中学で導入した関数の定義が複素関数論でも通用しているなら）yが一意に定まらなかったら関数とは呼べないのではないかと思いました。

回答No.1

killer_7

ルートの前後の括弧が気になるのですが，とりあえず無視して・・・

√x=-1となる実数xは存在しません．
まず，xが正の数のとき，√xの定義は，「2乗してxになる数のうち正のもの」です．
xが負の数のとき，√x=i√(-x)なので，やはり-1と等しくはなりません．
一方，複素数の範囲では，x=r e^(iθ)と表すとき，
√x=√r e^(iθ/2)・・・(*)
と定義します（e^(iθ)という書き方に馴染みがなければ，cosθ+i sinθと読み替えてください）．すると(*)の右辺が実数になるのは，θ=2nπ，つまりxが正の実数のときに限られ，やはり上記に帰着して(*)の右辺が-1になることはありません．

さて，後半部分ですが，全実数ではなく，すべての正の数ではないでしょうか．log xは負のxには定義されていませんし，ヘルダーの不等式も正の数が対象なのでそうではないかと推測しました．

お礼

はい。ありがとうございます。さきほど質問をしてからヘルダーの不等式を改めてみてみたら、正の数という条件が書かれているのに気づきましたが訂正できませんでした。すみませんでした。