挑戦状

質問

問題
x,y,u,vを複素数とする。αを実数としたとき、

(1)
uv=α
xy=α
u-x=α
v-y=α
を満たすx,y,u,vの組が存在することを示せ。

(2)
(1)で、x,y,u,vが全て実数となるようなαの範囲を求めよ。

(1)と(2)のどちらかだけでも結構です。

回答No.8

Tacosan · ベストアンサー

解釈が微妙だけど
(0以下か 4以上) または (0未満か 4以上)
でいい?

お礼

x,y,u,v=0は含めてOKです。
特に別の数値という断りを入れてないので。

まぁ、極限使って示す必要もありますが、わかってらっしゃると思うので、結構です。

ご回答ありがとうございます。正解です。

大学卒以上だとは思われますが、数学科でしょうか？

回答No.9

Tacosan

「x,y,u,vを複素数とする」という前提の下で「(1)で、x,y,u,vが全て実数となる」って, 実は解釈が微妙になりえるんですよ. この「なる」が「勝手にそうなる」つまり「(1) を満たす x, y, u, v は必ず実数である」の意味なのか, それとも「そうできる」つまり「(1) を満たす実数の x, y, u, v が存在する」の意味なのかによって結論が変わるんだな.

でも, こんなの「大学入試」にはゆるすぎるんじゃない? 落とし穴が 1か所あるもののほぼ瞬殺 (ないしは暗算) レベルだし.... むしろ「A4 1枚に収まらない解答」がどのくらい努力と根性を出してるのか見てみたい.

ちなみに大学は一応出てるっちゃ出てますが数学科ではありません.

お礼

出題時の記述のしかたに気を付けなければいけないことに気付けたのは良かったです。

数学科ではなければ…詮索はやめましょう。

ありがとうございました。

回答No.7

Tacosan

「αが負のとき、x,y,u,vは複素共役という形にはならなくなりますが、
複素共役だとして仮定して解けます。(αの式で表したときに、複素共役の形になっています。)」
の意味が分からん.

「複素共役の形」という表現はあまり使わないので, 「x,y,u,vが複素共役という形である」とか「αの式で表したときに、複素共役の形になっています」とかの意味をはっきりさせてください. あるいは「複素共役の形」というものをきちんと定義してください.

そして, もう一度確認します. 「α≧0 のときに u と v, x と y がそれぞれ共役な複素数になることを示す」, でいいですか?

お礼

ありがとうございます。

補足

元々ヒントは出さないつもりだったので、

uv=α
xy=α
u-x=α
v-y=α
を満たすx,y,u,vが全て実数となるような実数αの範囲を求めよ。

でおねがいします。

回答No.6

Tacosan

「めんどくさい」とか思うくらいなら, 最初から「ダメだしされるような問題」にしなきゃいいのに.

確認ですが, それを「すべての実数 α」に対して示せ, ということでいいですか?

お礼

補足になってすみません。

便宜上、すべてのαでOKです。
αが負のとき、x,y,u,vは複素共役という形にはならなくなりますが、
複素共役だとして仮定して解けます。(αの式で表したときに、複素共役の形になっています。)

問題の発案は、掛けても引いても同じ数になることを目指して作りました。(問題の性質としては足しても掛けても同じ数となってしまいましたが)

大学入試レベルってところでしょうか？

補足

すみません、そこまで慣れているものではないので。

確認したらαが負のときがちょっと怪しいので、α≥0のときを解いてください。

回答No.5

Tacosan

あ, ごまかした.

u-x=α は実数であり, よって実の α に対し u と x は共役複素数にはならない. 以上.

お礼

>uとvが共役複素数、xとyが共役複素数です。

ちなみに、４本の式全て使わないとこれは示せません。

補足

もう、めんどくさいですね。

uとvが共役複素数、xとyが共役複素数です。

回答No.4

Tacosan

「共約複素数」ってなんですか?

お礼

共役ですね。

まあ、(1)をどうこういったところで(2)が解けなければ全く価値がないんですが。

補足

ちなみに、αの範囲のみだと非常に簡単になってしまう虞があるので、x,y,u,vをαの式で表してください。

回答No.3

Tacosan

(1) は「x,y,u,vの組が存在することを示せ」だから「どう行った関係にあるか」なんてど～でもいいことだよね. どこに行ったのか知らんが. で, 「存在する」だけなら代数学の基本定理で一瞬.

お礼

そうですね。

じゃあ、共約複素数になることを示してください。

補足

いきなり(2)を解けだと手がつけにくいため、(1)を設問として設けましたが、書き方を間違えたようですね。

回答No.2

Tacosan

(1) ってほぼ自明じゃね?

お礼

すみません、それを“示して”ください。

具体的にどう行った関係にあるかまでが求めてください。(実は、αを複素数にした時と様子が違うため)

補足

ANo.6のあとでの書き込み失礼します。
熟慮にかけていました。

共役複素数とするのは正確な解き方ではありませんでした。お詫び申し上げます。

うまく解けば、A4用紙1枚以内で解けます。

回答No.1

noname#157574

複素数＝実数＋虚数だから……

お礼

ありがとうございます。

補足

虚数がゼロなら、複素数=実数と考えてください。

本当はx,y,u,v∈C(複素数体)と書きたいのですが、
高校生レベルで解けるので表記を簡素にしてしまいました。