もっとシンプルに弦の長さを求めたい

質問

円x^2+ｙ^2-x-3y-2＝0と直線y＝mxの交点の距離が4のときのmの値は？
二つの図形の交点を求め、二つの座標間の距離が4であるから三平方の定理を用いてmの式をつくり、答えを求めたのですが、途中の式がとても複雑で、もっとシンプルにとく方法がありましたら教えてください。高校生に説明していて、計算が複雑で相手ががちょっと首をひねってましたから。

回答No.1

killer_7 · ベストアンサー

交点を求めると面倒でしょうね．

円の中心と半径は簡単に分かるので，中心から弦に垂線を下ろして，三平方の定理から中心と直線 mx-y=0 との距離を得る．
次に，点と直線の距離の公式

ax+bx+c=0と(α,β)との距離
|aα+bβ+c|/√(a^2+b^2)

から，mについての（絶対値つきの）2次方程式を得る．

絶対値の入った方程式を解くことになりますが，計算自体はシンプルなはずです．

お礼

ありがとうございました。分かりました。頼まれて高校生に教えていたのですが、なにぶん遠い昔のことで答えは出たのですが、ダサイ方法で自分でも、もやもやしてました。

回答No.4

tanakarakusamoti

補助線を活用しましょう。
まず、円の中心から直線y=mxに垂線をおろします。
すると、その垂線の足はちょうど弦を二等分する点になりますよね。
次に円の中心と、直線と円の交点（２点ありますね）を結ぶ線分をひきます。すると、円の中に対称的な三角形２個ができましたね。（図を描きながら考えて下さい。）

ここから計算に移ります。

垂線の足と直線と円の交点までの距離は２（弦が二等分されていますから）
円の中心と　直線と円の交点　との間の距離は与えられた円の式から求められて、その値は３√２/２
となりますね。
これらより、三平方の定理から最初におろした垂線の長さが１/√２と求まります。

後は、円の中心と直線y=mx
に所謂「点と直線の距離」のアレを用いれば求められます。↓

|m*(1/2)-(3/2)|/√(m^2+1) = 1/√2

お礼

ありがとうございました。分かりました。

回答No.3

postro

円の中心の座標と半径を求めます。
(x-1/2)^2+(y-3/2)^2=9/2
二つの交点の距離＝４
より、9/2=2^2+(円の中心と直線の距離)^2
円の中心と直線の距離=√(1/2)
円の中心と直線 -mx+y=0 の距離の公式を使って
|-m/2 +3/2|/√(m^2+1)=√(1/2)
これを解けばよい。
m=1,-7

お礼

ありがとうございました。分かりました。

回答No.2

tarame

円と直線の交点をＡ,Ｂとし、線分ＡＢの中点をＭとする。
円の中心をＣとすると、△ＡＣＭは直角三角形になる。
円の中心Ｃから直線までの距離をｄとする。
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ｄ^2＋ＡＭ＝ｒ^2（ｒは円の半径）
-------------------------------
を使えば、計算が簡単になります。

お礼

ありがとうございました。分かりました。