研削加工理論 (接触弧の長さ計算について)

質問

研削における「平均切りくず断面積」について勉強していますが、
わからない点があり質問させていただきます。
ご回答よろしくお願いいたします。

平均切りくず断面積の算出の際、接触弧の長さの計算が必要となります。この接触弧は近似式であらわされるのですが、
この近似式の求め方がわかりません。

接触弧の長さは以下の近似式であらわされます。
　　L=√(t/(1/D+1/d))
但し、L:接触弧の長さ
　　　t:砥石切り込み深さ
　　　D：砥石の直径
　　　d:工作物の直径

いくつかの書籍を調べましたが、
「近似的に L=√(t/(1/D+1/d)) であらわされる」
といった文面ばかりで、この近似式がどのように算出されるのかが
わかりません。

ご回答のほどよろしくお願いいたします。

回答No.1

SortaNerd · ベストアンサー

単純な幾何学です。
図がないと分かりづらいので、このページの一番下の方の図をご覧ください。
右に砥石、左に加工物があって噛み合っている図です。
http://www.noritake.co.jp/abrasive/technical/01.html

砥石の中心をO、加工物の中心をoと置きます。
砥石の円と加工物の円が交わった点(砥石が抜けていく側)をAと置きます。
砥石と加工物の中心を結んだ線Ooに対して点Aから垂線を引き、その足をHと置きます。

するとまず
L≒AH
と表せます(1つ目の近似)。
一方、切り込み深さを見て、
Hから線分Oo上を左に砥石の円周までの距離をt1、同様に加工物の円周までの距離をt2と置くと、
t1+t2=t
です。
砥石側を見て、三角形AHOを考えます。
AH=L、AO=D/2、HO=(D/2)-t1
です。
三平方の定理から、
L^2 = (D/2)^2 - (D/2-t1)^2
となり、展開して
L^2 = (D/2)^2 - {(D/2)^2 - Dt1 + t1^2}
L^2 = Dt1 - t1^2
です。
ここでD>>tよりt1^2は微小なので無視して(2つ目の近似)、
L^2 = Dt1
とします。一方加工物側も同様なので、
L^2 = dt2
移項して、
(L^2)/D = t1
(L^2)/d = t2
足して、
L^2(1/D+1/d) = t
移項して、
L^2 = t/(1/D+1/d)
平方根とって、
L = √(t/(1/D+1/d))
できあがり。

お礼

丁寧なご回答ありがとうございます。
しっかり理解できました。

回答文中の、
「ここでD>>tよりt1^2は微小なので無視して(2つ目の近似)、」
について、
これは思いつきませんでした。
近似式を考える際は、このようなものに注意が必要ですね。

重ね重ね、丁寧なご回答ありがとうございました。