球面の弧の長さ、中心角の求め方

質問

画像の様な120の球面三角で分割された球面において、
任意の点間の弧の長さの求め方と、弧の長さから中心角
を求める計算の仕方を教えてください。

検索すると、「球面三角法」という事柄に関することの
ようで、解説などを読んではみたものの全く理解出来ません。

最も知りたいのは、画像のABの中点「g」とCD間の中点「i」の
弧の長さ（青線）とその中心角です。

また単純に球の直径を10センチと仮定した場合に、直径の数値
のみで弧AB、gF、BFの長さやその中心角を求める事は可能でしょうか？

当方数学はめっぽう苦手で、基本的な公式なども忘れてしまっているので、
詳細に教えていただければ幸いです。

よろしくお願い致します。

回答No.5

okormazd · ベストアンサー

#1です。
たしかに、添付は判読できないね。
添付は、私がEXCELで計算したもので私のPCの中にあり、Webには上げてないのでURLはありません。
で、
分割で、添付するので、見てください。
EXCELなので、式のとおりの計算式が入っていて、計算結果がでています。自分のEXCELで式を入れて確かめてください。
三角形の4π/5とかの角度はわかりますよね。

お礼

重ねてのご回答と画像の拡大再貼付ありがとうございます。

当方の質問のためにご製作いただいた画像でしたようで、失礼をお詫びするとともに深く感謝申し上げます。

学生時代から数学が本当に苦手で卒業からウン十年、既に基本的な事柄はほとんど覚えていない状態です.....。
正直申しますと「三角形の4π/5」もよくわかりませんが、いただきました画像の解読にチャレンジ致します。

本当に詳細な解説ありがとうございました。

また何かご縁ありましたらご教示よろしくお願い致します。

回答No.7

okormazd

その続き

お礼

ありがとうございました。深く御礼申し上げます。

回答No.6

okormazd

続き

お礼

ありがとうございました。深く御礼申し上げます。

回答No.4

nag0720

失礼、ダブってしまいました。

お礼

ありがとうございました。深く御礼申し上げます。

回答No.3

nag0720

球面三角法は分かりませんが、三次元座標系でも計算することができます。

A,B,C,D,Eは正12面体の頂点になっていますし、F(およびそれと同等の点)は正20面体の頂点です。

下記サイトの式を使えば頂点の座標が分かるし、中点の座標も計算できます。
角度は内積で、弧の長さは角度×半径で求めることができます。

http://www.h6.dion.ne.jp/~ooya/Suugaku/Seitamentai.pdf

お礼

ありがとうございました。深く御礼申し上げます。

回答No.2

nag0720

球面三角法は分かりませんが、三次元座標系でも計算することができます。

A,B,C,D,Eは正12面体の頂点になっています。
また、F(およびそれと同等の点)は正20面体の頂点です。

下記サイトの式を使えば各点の座標が分かるし、その中点の座標も計算できます。
角度は内積で、弧の長さは角度×半径で求まります。

http://www.h6.dion.ne.jp/~ooya/Suugaku/Seitamentai.pdf

お礼

さっそくのご解答ありがとうございます。

なるほど正二十面体に対応しているのですね。

ご教示いただきましたURLのファイル拝見しましたが、なかなか難解です....。

すこし時間をかけて解読してみます。

ありがとうございました。

回答No.1

okormazd

球面三角形も普通の三角形と同様に、3辺と3角のうちどれか3つがわかれば、他の3つを求められます。
ただし、辺は長さではなく、中心角で表します。
いろいろな公式がありますが、1つは3角から辺を求める式(半辺の式か?)、もう1つは、２辺と1角から対辺を求める式(余弦法則か?)を使えばいいでしょう。
添付図参照。
「詳細に教えていただければ」ということですが、公式の導入などは別に学んでください。ここでは、式に入れるだけにします。
質問の図の⊿FAgは添付図では、公式に当てはめる都合で、⊿ABCとしています。同様に⊿gFiは、FをAにしています。

計算すると、gF(=b)は、0.553574359になります。これは、gFの中心角なので、実際の長さはこれに半径をかければ出ます。
Fi=gFで、∠A=4π/5だから、これでgi(=a)が求められます。式は添付図にあります。この中心角は、1.047197551になるので、これに半径をかければ長さが出ます。
同様にAg(=a)は、0.364863828なので、質問のABは2×0.364863828=0.729727656です。質問のBFは添付図のcで0.65235814になります。これらは中心角なので、それぞれ半径をかければ長さになります。

なお、角の表記は弧度法です。

お礼

画像と具体的な数値を用いた丁寧なご解説ありがとうございます。

貼付いただきました画像の公式や数値などに当方のディスプレイでは判読出来ない部分がありますので、もし差し支えがなければこの画像のあるページのURLなどを教えていただければ幸いです。