証明できません・・・【一般逆行列】

質問

こんにちわ。lock_mというものです。
次のような問題に会ったのですが、いい証明方法が見つかりません。

AX=C ・・・・・(i)
AGA=Aを満たす行列GをAの1逆という。
Aのある1逆Gについて、AGC=Cが成立するとき、方程式(i)は解を持つことを示せ。

という問題です。
自分で証明してみた結果

AX=Cの両辺に右からAをかけるとAXA=CAとなり、CA=AGCAなので、
AXA=AGCAであり、両辺を比較するとX=GCであるので、方程式(i)は解を持つ。

という証明になったのですが。まったくしっくり来ません・・・。
そもそも両辺を比較していいんでしょうか？
何かよい証明方法がありましたらご教授お願いします。

回答No.1

guuman · ベストアンサー

仮定により
A・G・A=A…(1)
A・G・C=C…(2)
なるGが存在する
(2)の両辺にAGを左からかけると
A・G・A・G・C=A・G・C
よって
(A・G・A)・(G・C)=C
よって
A・(G・C)=C
よって
G・CはA・X=Cの解

お礼

なるほど！いわれてみれば案外簡単に出てしまうんですね・・・。
本当にありがとうございました！