逆行列

質問

積A(adjA)を計算することにより、X=(1/detA)adjAはAX=Iを満たすことを示し、XがAの逆行列であることを確認せよ。

という問題なのですが、よく分からず困っています。
前にも同じ問題を質問させて頂いたことがあるのですが、ちゃんと理解することができなかったので、もう一度質問させていただきました。

私なりに考えたのは、
X=(1/detA)adjAをAX=Iに代入。
A(1/detA)adjA=I
A*adjA=detA*Iを示せばいいんじゃないかと思うのですが…。

丁寧なアドバイス、よろしくお願いします。

回答No.5

Tacosan

いや, だから a~_11 などを a_11 などで書けないと話が進まないんだってばぁ.
で言ってしまうと, A * adj A の (1, 1) 成分は
a_11 a~_11 + a_12 a~_21 + a_13 a~_31
となって, これは (a~_11 などの与え方を見ればわかるんだけど) det A を第1行で展開した式に一致します. だから A * adj A の (1, 1) 成分は det A です.
次に A * adj A の (1, 2) 成分を見ると
a_11 a~_12 + a_12 a~_22 + a_13 a~_32
なんだけど, これは実は (a_11 a_12 a_13)(a_11 a_12 a_13)(a_31 a_32 a_33) という行列の行列式を第2行で展開した式に一致し, その値は (第1行と第2行が同じなので) 0 です.
以下同様にやると A * adj A は対角成分が全て det A, その他の成分は全て 0 になることがわかります. だから A * adj A = (det A)I となります.
まあ, adj A がどのように与えられるかというのを確認して, A * adj A の各成分をきちんと評価してみてください. ひょっとすると上の記述は行と列が混乱してるかもしれないので.

回答No.4

Tacosan

う～ん, なんか根本からわかっていないような香りがする....
とりあえず A を 3次正方行列としましょう. (i, j) 要素は aij とします.
det A とか adj A を, aij を使って書けますか?
これができないと, 全く進めませんよ.

補足

Aは、A=(a_11 a_12 a_13)(a_21 a_22 a_23)(a_31 a_32 a_33)とおけますよね…？

adjA=(a~_11 a~_12 a~_13)(a~_21 a~_22 a~_23)(a~_31 a~_32 a~_33)

detAがどう表すのかわからないです。
2次正方行列で、A=(a b)(c d)だったら、detA=ad-bcなのは分かるんですけど。あと、展開公式で、行における展開と列における展開公式は分かるんが…。

Tacosanさんの言う通り、根本的にあまり理解ができていないと思います。すみません、こんなんで質問とかしてしまって…。

よければ、教えていただけると嬉しいです。
よろしくお願いします。

回答No.3

Tacosan

adj A を A の成分を使って書けばいいのに....
あ, Laplace 展開ってのは, 行列式を求めるときにやる「行について展開する」とか「列について展開する」というやつです.
まあ, 2×2 程度では意味がわからんと思うので, 3×3 くらいで試した方がいいと思う. 本当は 4×4 とか 5×5 とかの方がいいと思うけど, 計算が大変だし.

補足

adjAなんですが、どうやって打てばいいのか分からなかったんで、bにしておいたんです。

Laplace展開、分かりました！ありがとうございます。

実3次正方行列ですね。それでやってみようと思います。
A*adjAは普通に掛け算でやるのは分かるのですが、detA*Iってのはどうやって計算すればいいのか分からないんです。
このdetA*IでLaplace展開を使うんですか？

回答No.2

koko_u_

>まずは、Aを適当に(a_11 a_12 )(a_21 a_22)とかおくべきですよね。
なんだ。2×2行列なのか。。。

そうだね。適当に成分を置いて計算するだけさね。質問する前にやってみるがいい。

補足

別に実2次正方行列と決まってるわけじゃないんですけど、小さい方が計算が楽かなと思っただけなんです。

adjA=(b_11 b_12)(b_21 b_22)とおくと

左辺=A*adjA=(a_11*b_11+a_12*b_21 a_11*b_12+a_12*b_22)(a_21*b_11+a_22*b_21 a_21*b_12+a_22*b_22)
になりますよね？
右辺の計算の仕方ってどうすればいいんですか？detAをどうやって表せばいいんでしょうか。よろしければ、教えて頂けると助かります。
よろしくお願いします！

回答No.1

Tacosan

もちろん「A * adj A = (det A)I を示せ」ってことですよ.
まあ, 成分ごとに計算するのがわかりやすいかなぁ.
Laplace 展開を念頭において, A * adj A の (i, j) 成分が「A から誘導されるある行列の行列式」になることを示せば OK.

補足

アドバイスありがとうございます。
考え方は合ってるみたいでよかったです。
でも、この後はどうやったらいいんですかね？まずは、Aを適当に(a_11 a_12 )(a_21 a_22)とかおくべきですよね。

あと、「Laplace 展開」ってのは、どういう展開なんですか？
まだ教わっていなくて、分からないんです。よければ、教えていただけると助かります。