三角関数の問題を教えてください！

質問

角BAC＝４５°である△ABCにおいてAP＝１、角BAP＝１５°を満たす辺ＢＣ上の点Ｐが存在するとき、次の問いに答えよ。

・角APC＝θとするとき、θのとりうる値の範囲を答えよ。

・△ABCの面積をＳとするとき１/Ｓをθを用いて表せ。　　　
・Ｓを最小にするθの値を求めよ。また、そのときのＳの値を求めよ。

どれかひとつでもわかったら教えてください。お願いします！

回答No.6

keros66

(1) θのとりうる範囲は　１５°＜θ＜１５０° です。これは、△ＡＢＣが３角形 として形成できる範囲として決まります。

(2) △ＡＢＣの面積Ｓは、△ＡＰＣの面積Ｓ１と△ＡＢＰの面積Ｓ２の和になります。すなわち
　　　　Ｓ＝Ｓ１＋Ｓ２
　　です。そして、正弦定理から、
　　　　ＡＣ＝sinθ／sin(θ+30°)
　　となります。したがって、ＡＰ＝１ を考慮すると
　　　　Ｓ１＝（１／２）sinθ sin30°／sin(θ+30°)
　　となる。同様にして
　　　　ＡＢ＝sinθ／sin(θ-15°)
　　　　Ｓ２＝（１／２）sinθ sin15°／sin(θ-15°)
　　となる。したがってＳは
　　Ｓ＝(1/2)sinθ sin30°／sin(θ+30°)＋(1/2)sinθ sin15°／sin(θ-15°)
　　　＝sin45°(sinθ)^2/{2sin(θ+30°)sin(θ-15°)}
　　となり、１／Ｓは
　　　　１／Ｓ＝2sin(θ+30°)sin(θ-15°)／｛sin45°(sinθ)^2｝
　　となる。

（３）Ｓを最小にする（したがって１／Ｓを最大にする）θを求めるスマートな方法が私には見つからない。そこで、かなり煩雑になるが、次のように正攻法で扱ってみる。
　　まず、１／Ｓのθに対する微分を０にする（これは連続な関数が最大値をとるための必要条件である）ようなθを求める。次に、このθで１／Ｓが最大になることを確認する。さらにこの値をＳの式に代入してＳの最小値を求める。
d(1/S)/dθ=(2/sin45°)[{sin(θ+30°)cos(θ-15°)+cos(θ+30°)sin(θ-15°)}
×(sinθ)^2-2sinθcosθsin(θ+30°)sin(θ-15°)]/(sinθ)^4＝０
　　これが成立するためには、[ ]内の式が０であることが必要十分である。
　　[ ]内の式の両辺を適当にわり算して、整理し、次の式を得る。
　　　　{１／tan(θ-15°)+ １／tan(θ+30°)}tanθ－２＝０
　　これに、加法定理を用いて展開し、整理すると次の式を得る。
　　　（1+(tanθ)^2){(tan15°-tan30°)tanθ+2tan15°tan30°} ＝０
　　この式で、最初の因数は常に正であるから、結局、｛ ｝内が０ということになる。すなわち、
　　　　(tan15°-tan30°)tanθ+2tan15°tan30°＝０
　　これからθを求めると、
　　　　tanθ＝2tan15°tan30°／(tan30°-tan15°)＝１
　　　　∴ θ＝45° (θのとりうる範囲を考慮してある）
　　なお、この計算には、次の値を利用した。これは公式集などにも出ているし、２倍角の公式などを用いて導くこともできる。
　　　　tan15°=2-√3, tan30°=√3/3
　　このθのとき、Ｓが（最小値などでなく）最大値をとることは、幾何学的考察からわかる。（詳細な説明は省略）
　　次に、面積Ｓの式に θ＝４５°を代入すると、面積の最大値は次のようになる。
　　　Ｓ＝(sin45°)^3/{2sin75°sin30°}＝(sin45°)^3/{2cos15°sin30°}
　　　　＝(1/√2)^3/{2×(√6+√2)/4×(1/2)}＝1/(1+√3)＝(√3-1)/2
　　ここで、次の値を使用しています。
　　　　cos15°＝ (√6+√2)/4

回答No.5

kony0

(3)について、問題の趣旨とは違うと思いますが、座標設定で微分しても解けます。

すなわちAを原点、P(sqrt(3)/2,1/2),C(c,0), AB:y=xとしてBの座標とＳをcを用いて表す。
このとき、c>(sqrt(3)-1)/2であるから（θの範囲の求め方と同じ考え）、
がちゃがちゃ計算するとＳを最小とするのはc=sqrt(3)-1のときとなる。
PからACにおろした垂線をHとすると、CはHよりもA寄りにあって、tan(角CPH)=2-sqrt(3)より角CPH=15度（15度の直角三角形の辺の比として4:{sqrt(6)+sqrt(2)}:{sqrt(6)-sqrt(2)}は覚えておいた方がいいと思います）
よって、θ=45度、Ｓ＝{sqrt(3)-1}/4（終）

三角関数を使って計算しても綺麗になるのかなぁ？そっちは難しそうなのでやってないです。ごめんなさい。

お礼

ありがとうございます！

回答No.4

noname#2380

blue_monkeyです。
確かに、miku0004氏の回答通り、θは15～150度です。
アホなアドバスをしてしまい申し訳ありませんでした。
ゴメンナサイ。

お礼

いえいえ！どうもありがとうございました！！

回答No.3

miku0004

(1)15°<θ<150°
(2)1/S=｛(2√3+2)sin^2θ+(2√3-2)sinθcosθ-√3+1｝/2sin^2θ
(3)面倒で～す。ぼちぼちやりま～す。

(1)は図かいてBCがACと平行になっちゃうときθ=150°,ABと平行になっちゃうときθ=15°です。
(2)正弦定理でAB,ACをθ及びAP(=1)で表し、S=(AB・ACsinA)/2で出したつもり
(3)うまいやり方ある？

てな感じで♪

お礼

ありがとうございます！参考になりました！！

回答No.2

noname#2380

初めまして、blue_monkeyと言います。
以下の内容は読み捨ててください。

θの取りうる値は、0度から150度でしょうか？
お猿さんの野生の感ですぅ～。
（ユークリッド空間でのお話です。）
後の問題は、teika氏とred_snake氏におまかせしますぅ～。
θの取りうる範囲についても間違いがありましたら、訂正お願いいたします。

ウソがありましたらゴメンナサイ。

回答No.1

red_snake

まだ詳しくは解いていないので、方針だけ。
角度をθを使って全て表示できます。そうしたら正弦定理、余弦定理を使ってθだけの式をつくります。
それが出れば全て出来ます。
ちなみにAP＝1は正弦定理が2つ成り立ちます。そして、2辺が出れば余弦定理に持ち込めます。

お礼

ありがとうございます！！
参考にしてやってみます！