因数分解の問題

質問

初歩的な質問かもしれませんが、宜しくお願いします。
x^4－14x^2＋1
を因数分解するのに、x^2＝tとおくと
t^2－14t＋1
となりますが、この後が思いつきません。たすきがけも利きませんし、平方完成しようとすると、
(t－7)^2－49+1
＝(t－7)^2－48
となり因数分解のしようがありません。行き詰ってしまいました。すみませんが、至急お願いします。

回答No.1

tomopa · ベストアンサー

t^2－14t＋1
=t^2+2t+1-16t
=(t+1)^2-16t
=(x^2+1)^2-16x^2
=(x^2+4x+1)(x^2-4x+1)

お礼

わかりました。ありがとうございました。

回答No.9

pascal3141

この問題は複２次式なので通常は、(1)x^2=tと置く方法がとられるのですが、そうすると途中で躓きます。(2)もう一つの方法は、２乗の差の形に変形することです。
(2)の方法で考えると、-14が-16なら-4^2に成ることに着目して、x^4-14x^2+1=(x^4+2x^2+1)-16x^2=(x^2+1)^2-(4x)^2=(x^2+1+4x)(x^2+1-4x)とできます。

お礼

置き換えの方法を断念し、2乗の差の形への変形を試み、失敗し、そしてここで質問させていただきました。おかげで、かなり勉強になりました。本当にありがとうございました。

回答No.8

upsilon4s

すみません．

No.7 の最後の文章
　私の前半部分でやってください．
は
　私のNo.5の回答のようにやってください．
の間違いです．

お礼

了解しました。

回答No.7

upsilon4s

> なぜこれだと×なのでしょうか。お分かりになる方、教えていただければ嬉しいです。
受験だと暗黙の了解として係数が有理数の範囲で因数分解します．

例えば，
　x^4 - x^2 - 2
であれば
= (x^2 - 2)(x^2 + 1)　　　　　　←ここまででよい．
= (x+√2)(x-√2)(x^2 + 1)　　　←係数が実数の範囲で因数分解．
= (x+√2)(x-√2)(x+i)(x-i)　　　←係数が複素数の範囲で因数分解．
のように複素数の範囲までやるなら
x の1次式4つの積まで分解できますが，
ここまで持っていかなくてもよいということです．

ご質問の問題は有理数係数の範囲内で因数分解するには
少し工夫がいるといったところですね．

お勧めはしませんが，x^2 = t とおく流れから強引に
　x^4 - 14x + 1
= {x^2 -(7+4√3)}{x^2 -(7-4√3)}　　　　　　←解の公式より
= {x+√(7+2√12)}{x-√(7+2√12)}{x+√(7-2√12)}{x-√(7-2√12)}
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　←a^2-b^2 の公式より
= (x+2+√3)(x-2-√3)(x+2-√3)(x-2+√3)　　　←2重根号をはずした
= {(x+2)+√3}{(x+2)-√3}{(x-2)+√3}{(x-2)-√3}　←順序入れ替え
= {(x+2)^2 - 3}{(x-2)^2 - 3}
= (x^2 + 4x + 1)(x^2 - 4x + 1)
とも出来ます．

実際はこんなことはせずに No.1 さんの回答や私の前半部分でやってください．

お礼

とても勉強になります。複素数の範囲まで行くと既に高1範囲を越えてしまっていますよね。でもこれを教えていただいてみると奥深くて興味深いです。本当にありがとうございます。

回答No.6

khiro19

下の方の解答のが正しいですね。深く考えないで書き込んっじゃってすみません。

お礼

いえいえ。でも、なかなか思いつかないですよね。

回答No.5

upsilon4s

初めてだと思いつきにくいかもしれませんが，
因数分解における定番の問題の1つだと思います．

もう少し係数の簡単な
　x^4 + x^2 + 1
という例で知っておいてもよいでしょう．

上の例だと
　x^4 + x^2 + 1
= x^4 + 2x^2 + 1 - x^2
= (x^2 + 1)^2 - x^2
= (x^2 + x + 1)(x^2 - x + 1)
と因数分解されます．

お礼

定番ですか。できるようにおいたほうが良いですね。勉強になります。ありがとうございました。

回答No.4

khiro19

確かにできなそうですね。48を√48の2乗と考えて
(a+b)(a-b)=a^2-b^2を使って、
　(ｔ-7)^2-48
＝(ｔ-7)^2-(√48)^2
＝(t-7+√48)(t-7-√48)
とするしかないような気がしますが…

回答No.3

khiro19

確かにできなそうですね。48を√48の2乗と考えて
(a+b)(a-b)=a^2-b^2を使って、
(ｔ-7)^2-(√48）^2
＝(t-7+√48)(t-7-√48)
とするしかないような気がしますが…

お礼

本当にややこしいですよね。こう書いても○になれば有難いのに・・・。
　なぜこれだと×なのでしょうか。お分かりになる方、教えていただければ嬉しいです。

回答No.2

doahodesu

与式=(X^2)^2+2(X^2)+1-16X^2
=(X^2+1)^2-16X^2
=(X^2+1+4X)(X^2+1-4X)

お礼

なるほど、ありがとうございました。