解き方が解りません

質問

下記の2問について全く解き方が解りません。
解る方ご指導願います。

(1)．方程式(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0は
　　1と2の間と、2と3の間とにそれぞれ実根を持つ
　　ことを示せ。

(2)．次の連立1次方程式が自明な解以外の解を持つ
　　ようにaの値を定めよ。

ax + 2y =0
3x+(a+1)y =0

以上二問につまして解法を教えて頂けないでしょうか？お願いします。

回答No.3

noname#33973 · ベストアンサー

(2)
(1)と同様、グラフを考えるのが判りやすいと思います。

(1)２直線が平行である場合
　　２つの方程式を同時に満たす点が存在しないので、
　　この連立方程式は解を持ちません。
(2)２直線が重なる場合
　　２つの方程式は実質的に同じ式で、
　　解を無数に持ちます。
　　これが“自明な解”です。
(3)２直線が交わる場合
　　２方程式はただ一つの解を持ちます。
　　これが問題が求めている状態です。

～～～～～～～～以下回答～～～～～～～～～～

ax+2y=0
3x+(a+1)y=0

(i) a=-1のとき
　　-x+2y=0
　　3x=0
これを解くと、x=0,y=0
　　よって、a=-1は題意を満たす。
(ii)a=-1でないとき
　　y=-a/2 x
　　y=-3/(a+1)x
　　この２式のグラフを考える。
　　２直線の傾きが一致するとき、すなわち、
　　-a/2=-3/(a+1)
　　(a+3)(a-2)=0
　　でないとき、２直線はただ一つの交点を持ち、
　　与連立方程式は自明でない解を持つ。

(i)、(ii)より、題意を満たすaは-3,2以外の実数。

～～～～～～～～以下回答～～～～～～～～～～

この問題のポイントは実は(i)の部分です。
分母にゼロが来ないよう、ちゃんと場合分けをしましょう。

お礼

非常に解りやすい回答ありがとうございます。
ポイント(ⅰ)の部分なんですね？
(ⅱ)のほうが大事にみえてしまいました。
回答を参考にさせていただきもう一度考えてみます。
ありがとうございました。

回答No.4

noname#6715

>xとyが連立で解けない場合ということは、
>解はa=-3,2以外ということになるのですよね？
あ、ホントだ。問題読み間違えてた
そうです。

#3さんの言うとおり,
場合わけしなきゃいけないんだけど
面倒くさかったんで・・・(おぃ)

お礼

わざわざ再度回答くださりありがとうございました。
やはり＃３さんのように場合わけしないといけないのですね。ありがとうございます。

回答No.2

noname#6715

(2)はたぶん、xとyが連立で解けない場合
のことを言えということだと思う(自信なし)

a:2=3:a+1
a(a+1)=2・3=6
a^2+a=6
a^2+a-6=0
(a+3)(a-2)=0
a=-3,2

お礼

回答ありがとうございます。
xとyが連立で解けない場合ということは、
解はa=-3,2以外ということになるのですよね？

回答No.1

noname#6715

(1)
xの二次関数f(x)について
f(x)=0が
aとbとの間に解を持つとき
図にy=f(x)のグラフをいくつか描いてみれば分かりますが
f(a)とf(b)が異符号になっているはずです。
逆もいえるはず。

これを考え、
f(a)・f(b)<0
がa,bの間に解をもつ条件。
(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)=0
f(x)=(x-1)(x-2)+(x-2)(x-3)+(x-3)(x-1)とすると
1と2の間に解をもつことを示すには
f(1)・f(2)<0であることを示せばよい
よって
f(1)=0+(-1)・(-2)+0 =2
f(2)=0+0+(-1)・1= -1
よりf(1)・f(2)=-2<0
よって1と2の間に解を持つ。

同様に
f(2)=-1
f(3)=2
より
f(2)・f(3)=-2<0
よって2と3の間に解を持つ。
よって題意は示された

お礼

さっそくの回答ありがとうございます。
なるほどそのように考えればよいのですね。
一度グラフを書いて見ます。
解りやすい回答ありがとうございました。