A^3= E の問題。

質問

線形の問題です。

２次正方行列A=(ab)
(cd)のとき、A^3= Eとなるときのa+d, ad-bc の値を求めなさい。という問題の解法がわかりません。

変形して、A^3-E=0から(A-E)(A^2-A-E)=0 となるので
前か後ろの括弧が０になるときを２通りに場合分けすればいいと思っていたのですが、行列はA,Bがともに０でないときに、その積　AB=0となりうる為にこの解法が使えませんでした。

どなたか知恵を貸してください。

回答No.3

reiman · ベストアンサー

正方行列は必ずジョルダンの標準形（対角行列を含む）に相似です。
対角化されないとすると矛盾するので対角化されるということです。

Ｐ＾－１ＡＰ＝
（λ　１）
（０　λ）
は対角化されない場合。
Ｐ＾－１ＡＰ＝
（ｐ　０）
（０　ｑ）
は対角化される場合。
前者のケースか後者のケース以外にはないのです。
それがジョルダンの標準化定理です。

補足

複素行列をふくむ一般の２次正方行列の場合、ほかの解答に見られるケーリーハミルトンの定理は使う事ができないんですよね？

するとこの対角行列を使った方法が一番効率的だと思いますか？

回答No.10

tecchan22

＞＃８

なんや、固有値だけで簡単に解けるんやな・・。

今まで何をやっとったんやろう。

これ最高やね。

回答No.9

reiman

ジョルダンの標準形は有名で忘れないだろうと思って使っただけで
使わない方法もあります。
「任意正方行列はユニタリ行列によって上三角行列化される。」
を使えば良いのです。
これも
「正規行列はユニタリ行列によって対角化される」
という定理の補助定理で有名です。

Ａはあるユニタリ行列Ｐ、ある３複素数ｐ，ｑ，ｒによって
Ｐ＾－１ＡＰ＝
（ｐ　ｒ）
（０　ｑ）
となる。
両辺を３乗すると
Ｐ＾－１Ａ＾３Ｐ＝
（ｐ＾３　ｒ（ｐ＾２＋ｐｑ＋ｑ＾２））
（　　０　　　　　　　　　　　ｑ＾３）
である。
Ａ＾３＝Ｅよりこの行列はＥである。
よって
ｐ＾３＝１かつｑ＾３＝１
一方
ａ＋ｄ＝ｔｒ（Ａ）＝ｐ＋ｑ
ａｄ－ｂｃ＝｜Ａ｜＝ｐｑ
である。
よって
（ａ＋ｄ，ａｄ－ｂｃ）＝
（２，１）または
（１＋ω，ω）または
（－ω，－ω－１）または
（２ω，－ω－１）または
（－１，１）または
（－２ω－２，ω）

回答No.8

ringohatimitu

一応固有値だけ使った回答もしておきます。
Aの固有値の一つをλとすればA^3=Eからλは1,ω,ω^2のいずれか。
Aの固有値は全部で高々２個（Aは２次行列だから）。もしωが固有値に入ってればその共役ω^2も固有値、すなわち{ω,ω^2}が固有値全体となります。一方1が固有値であればωは固有値ではありません（もしωも固有値ならばω^2もそうで固有値は高々２個だから）。結局固有値としての可能性は{1},{ω,ω^2}の２通りがあることが分かりました。後は固有値（特性）方程式λ^2-(a+d)λ+ad-bc=0の係数を解と係数の関係でそれぞれ求めるだけです。

ちなみにこの方法でA^n=Eの場合も簡単に調べることができます。

回答No.7

tecchan22

＃６です。訂正。
＞＃３です。
間違えました。＃４です。大変失礼をば。

ついでに、＃３の補足に対して。

＞複素行列をふくむ一般の２次正方行列の場合、ほかの解答に見られるケーリーハミルトンの定理は使う事ができないんですよね？

あのね、君自分でハミルトン・ケーリーを使ってやってないでしょう？

やれば分かるよ。ｔｒ，ｄｅｔを実数の範囲で解けば解は２個、複素数の範囲で解けば６個。

どのやり方でも解ける。

ただハミルトン・ケーリー→最小多項式→ジョルダン標準形と、少しずつ強力な道具になって行くから、より簡単に解けるだけ。

回答No.6

tecchan22

＃３です。
大学生みたいやので、最小多項式を使った解も。

Ａの最小多項式はｘ＾３－１の因数。
しかも、実２次正方より、次数は２次以下の実多項式。

ｘ＾３－１＝（ｘ－１）（ｘ＾２＋ｘ＋１）[ ＝（ｘ－１）（ｘ－ω）（ｘ－ω＾２） ]
より、２次のときはｘ＾２＋ｘ＋１で、（２次正方より）、固有多項式に一致。
故にこのとき、a+d=-1,ad-bc=1
１次のときは、ｘ－１で、Ａ＝Ｅ．このときa+d=2,ad-bc=1

一方複素行列のときは、最小多項式は
ｘ－１　　　（→Ａ＝Ｅ）
ｘ－ω　　　（→Ａ＝ωＥ）
ｘ－ω＾２　（→Ａ＝ω＾２Ｅ）
（ｘ－１）（ｘ－ω）＝ｘ＾２＋ω＾２ｘ＋ω
（ｘ－１）（ｘ－ω＾２）＝ｘ＾２＋ωｘ＋ω＾２
（ｘ－ω）（ｘ－ω＾２）＝ｘ＾２＋ｘ＋１
のいずれか。

蛇足だが順に、ｔｒＡ，ｄｅｔＡは、
２，１
２ω，ω＾２
２ω＾２，ω
－ω＾２，ω
－ω，ω＾２
－１，１

↓ジョルダン標準形を使った解もいいですね。

回答No.5

kuwaman091

ケーリーより
A^2-sA+tE=0 (s=a+d,t=ad-bc)

A^3=E　　
A^3-E=0　　
ここでケーリーの式で上式の左辺をわれば
A^3-E=(A^2-sA+tE)(A+sE)+(s^2-t)A-(1+st)E
が得られる。確かめてみてね。
よって
(s^2-t)A=(1+st)E

(i)s^2-t=0のとき
0=(1+st)Eとなり
st=-1
ここでsとtを計算するとs=-1,t=1
よって
A^2+A+E=0

(ii)s^2-t≠0のとき
A=kEとおける。
A^3=Eから
(k^3-1)E=0
(k-1)(k^2+k+1)=0となり
k=1
よって
A=E

結局わかったこと
A^3=EならばA=EまたはA^2+A+E=0
以上より
a+d=-1ad=1 またはa+d=2,ad=1

回答No.4

tecchan22

どんな参考書にものっていると思うが、
ハミルトン・ケーリーを使って、Ａ＾３の次数下げをすると良いですよ。
すると、□Ａ＝△Ｅ
という方程式（□、△はa+d,ad-bcの式）となって、
□が０か０でないかで場合分け。
□＝０のときは、□＝△＝０より求まり、
□≠０のときは、Ａ＝ｋＥ（ｋは定数）だから、もとの方程式に再度代入して、ｋ＝１を得ます。
あとは自分で。

回答No.2

reiman

Ａがある正則行列Ｐ，複素数λによって
Ｐ＾－１ＡＰ＝
（λ　１）
（０　λ）
となるとするとＡ＾３＝Ｅに矛盾する。
（確かめられたし。）
よって
Ａはある行列Ｐ、複素数ｐ，ｑによって
Ｐ＾－１ＡＰ＝
（ｐ　０）
（０　ｑ）
となる。（つまり対角化可能である。）
両辺を３乗すると
Ｐ＾－１Ａ＾３Ｐ＝
（ｐ＾３　　　０）
（　　０　ｑ＾３）
Ａ＾３＝Ｅよりこの行列はＥである。
よって
ｐ＾３＝１かつｑ＾３＝１
一方
ａ＋ｄ＝ｔｒ（Ａ）＝ｐ＋ｑ
ａｄ－ｂｃ＝｜Ａ｜＝ｐｑ
である。
よって
（ａ＋ｄ，ａｄ－ｂｃ）＝
（２，１）または
（１＋ω，ω）または
（－ω，ω＾２）または
（２ω，－ω－１）または
（－１，１）または
（－２ω－２，ω）

ただし
ω＝（－１＋√３ｉ）／２

補足

この問題は２次の正方行列という条件なんですが、類題としてこのAを実行列と仮定した場合、お答えいただいた中で(2,1), (-1,1)のみが解になるみたいです。

回答していただいた回答方法は今までみたことがないものなのですが、

Ａがある正則行列Ｐ，複素数λによって
Ｐ＾－１ＡＰ＝
（λ　１）
（０　λ）
となるとするとＡ＾３＝Ｅに矛盾する。
（確かめられたし。）
よって
Ａはある行列Ｐ、複素数ｐ，ｑによって
Ｐ＾－１ＡＰ＝
（ｐ　０）
（０　ｑ）
となる。（つまり対角化可能である。）

とありますが、なぜ矛盾という結果から

Ｐ＾－１ＡＰ＝
（ｐ　０）
（０　ｑ）

という形に断定できるのかがわかりません。追加説明していただけませんか？

回答No.1

noname#235817

ケーリー・ハミルトン（もしくはハミルトン・ケーリー）の定理を用いるとよいのではないでしょうか？
まだ学習していませんか？

ちなみに
A^3-E=(A-E)(A^2+A+E)=0
です。

補足

計算間違い申し訳ありません。ケーリーハミルトンは知っていますので、この場合

1. A-E=0
2. A^2+A+E=0

のとき、ケーリーハミルトンを使って答えが出せると思ったのですが、
行列の性質(A,Bが０でなくても、AB=0 になる)から、この解法が使えないのではないかと思って質問をさせていただきました。