かつ と または がもやもや・・・

質問

今大学生ですが、集合論で厳密な証明をやっていてどうも判然としない部分があったので、皆さんのご協力を仰ぎたいと思います。よろしくお願いします。
集合のはじめのほうに習う、結合律ってありますよね？(Ａ∪Ｂ)∩Ｃ＝(Ａ∩Ｃ)∪(Ｂ∩Ｃ)という。あれの証明方法について、僕にとって納得の行く説明がないんです。
アル教科書には(x∈Ａまたはx∈Ｂ)かつx∈Ｃ　と　(x∈Ａかつx∈Ｃ)または(x∈Ｂかつx∈Ｃ)が論理的に同じだというんですが、まあそうなんでしょうけど、数学的な証明をさけてどうもごまかされている感じがするんです。
Ａ⊂Ｃ,Ｂ⊂Ｃ⇒Ａ∪Ｂ⊂Ｃの証明をしているときに、x∈Ａ∪Ｂをx∈Ａまたはx∈Ｂとしたあとに、x∈Ａ,x∈Ｂの場合をを別々に考えて、あとでくっつけるのは、直感的にも正しいと思えるのですが。納得行く説明をよろしくお願いします。

回答No.5

kasabian · ベストアンサー

集合(Ａ∪Ｂ)∩Ｃの任意の要素ｘは、
集合(Ａ∪Ｂ)にも、集合Ｃにも、必ずいずれにも含まれます。

要素ｘは、少なくとも集合Ａまたは集合Ｂのどちらか一方には必ず含まれ、かつ必ず集合Ｃにも含まれます。

ということは、要素ｘは集合Ａに含まれてかつ集合Ｃに含まれる場合と、集合Ｂに含まれてかつ集合Ｃに含まれる場合の、いずれかの場合に必ず含まれます。

と言葉で説明してみましたが、いかがでしょうか？

お礼

なんとなくですが直感的には納得行きました。ありがとうございます。
細かい悩みに付き合ってくださってありがとうございました。
または　という言葉を使わなくても説明はできるようですね。
何か頭の中に光るものがあったので、これでとりあえず解決ということにしておきます。
皆様ありがとうございました。

回答No.4

sunasearch

>x∈Ｂを満たしかつx∈Ｃを満たさないｘも存在する可能性があると思うんです。どういう意味で書いたのでしょうか。

(Ａ∪Ｂ)∩Ｃという集合の要素ｘを取り出すと、
(x∈Ａまたはx∈Ｂ)かつx∈Ｃです。

ここまでが、仮定です。

ｘはAかBのいずれかに必ず属するので、
(i)と(ii)で場合分けしたのです。

回答No.3

rabbit_cat

使ってもよい公理を教えてください。

補足

たしかに公理を僕かいてないですよね。それで説明しろって言ってんだから無理難題といわれてもしょうがないですね。
むしろそれがわからないんです。公理がないから厳密に証明できない。明確に記述してないから数学的に処理できない。
わかっていれば自分で解いてます。って何のこっちゃですね(笑)。
とにかく私の手元の教科書には　かつ　と　または　に関してはキチンとした使用法や定義がなく、その文字が使われているんです。
せめてこの証明は公理だから無理なのだといっていただければあきらめもつくんですけどね。まいりました。
ともあれ、アドバイスありがとうございました。

回答No.2

weiemes15

真理表を作ったらどうでしょう

補足

回答ありがとうございます。真理表は命題の真偽を問うために便利な道具だとは確かに思いますが、今回うかがったのは論理式だけで組み立てられる厳密主義に基づいた証明法があるのか、あるとすればどうやればいいのかです。ちょっと細かいこと気にしすぎなのかもしれませんが、できるだけ厳密に理解しておきたいので、今回ご相談に上がりました。
ということなので、できれば論理式による組み立て法かあるいはそれは無理なのかを専門の方にお伺いしたいです。

回答No.1

sunasearch

直感的には、A,B,Cの３つの円（ベン図）を書いて、(Ａ∪Ｂ)∩Ｃと
(Ａ∩Ｃ)∪(Ｂ∩Ｃ)の
表す領域を比べるとわかります。

証明としては、
(Ａ∪Ｂ)∩Ｃについて、

(x∈Ａまたはx∈Ｂ)かつx∈Ｃ　から、
場合分けをして、

(i)x∈Ａのとき、x∈Ｃを満たす。
つまり、x∈Ａかつx∈Ｃ

(ii)x∈Ｂのとき、x∈Ｃを満たす。
つまり、x∈Ｂかつx∈Ｃ

よって、(Ａ∪Ｂ)∩Ｃは、(i)と(ii)の少なくとも一つを満たすから、
（x∈Ａかつx∈Ｃ）または（x∈Ｂかつx∈Ｃ）
となり、

(Ａ∪Ｂ)∩Ｃ＝(Ａ∩Ｃ)∪(Ｂ∩Ｃ)

という感じでは、いかがでしょうか。

補足

長文にわたって回答していただきありがとうございます。
ただ、ちょっとわからないのですが
(i)x∈Ａのとき、x∈Ｃを満たす。
ii)x∈Ｂのとき、x∈Ｃを満たす。
とあるのですが、
x∈Ｂを満たしかつx∈Ｃを満たさないｘも存在する可能性があると思うんです。どういう意味で書いたのでしょうか。できれば返答をお願いいたします。