a.b<0 a<bの時 -3a>-3b になる直感的説明

質問

小中学生相手の家庭教師をしています。

今回は中３相手に数学を教えています。

不等号の範囲で、a,b<0かつa<bの時、-3a>-3bとなることを確かめよ、という問題で、私は以下のように解説しました。

a<bかつa,b<0より、｜a｜＞｜b｜
よって　｜－３a｜＝｜３a｜＞｜３b｜＝｜－３ｂ｜
かつ　－３a、－３ｂ＞０

したがって、－３a＞－３ｂ

しかし、生徒に「論理はわかるが、直感的には理解できない」といわれました。

そこで、a、ｂに－３、－２や－５、－１０など、具体的数字を代入してみて、－３a＞－３ｂになることを実例で計算してみました。

この代入はわかったが、a、ｂ一般で上記の式が成り立つことが、直感的には納得できないそうです。

なにか直感的にこの公式を納得できるような説明を思いついた方が、いらっしゃいましたら、教えてくれると助かります。

明日また説明しにいくので、回答はお早めにお願い申し上げます。

回答No.2

KRASU · ベストアンサー

まず「-3」ははずして説明したほうがわかりやすいのではないでしょうか？

自分が説明するとしたら(素人だからあんま参考にしないでくださいね^^;)、まず０付近の数直線を書きます。
そして、正の数だと０に近いほどが小さくて、負の数だと０に近いほど大きいということを視覚的にわかるようにします。

そして具体的に、「２にマイナスをつけたら０を中心として反対側(負の側)に対称移動する。だから同じように、－２にさらにマイナスをつけたら反対側(正の側)に対称移動する」というようなことを説明します。

そして、a,b<0だから最初は両方０の左側にある。そしてこれをマイナスをつければ反対側、つまり正の側に移動する。
そうすると最初に０に近かったほう(この場合はb)は対称移動しても０に近い。だけど反対側に移動したから０に近いほど小さくなった。

みたいな感じで自分だったら説明します

お礼

ありがとうございます。

数直線を使いますか。視覚的に理解できる良い方法ですね。

明日これで説明して見ようかと思います。

回答No.4

okn1234

a<bの両辺を３倍
↓
３a＜３ｂの両辺に×-１倍
↓
－３a＞－３ｂ
（不等式にマイナスの数をかけると「＜」と「＞」が逆転することを説明する。これは不等式を解くにあたって必須なので・・・）
※a,b<0の条件は使わなくてよい
これで理解できると思うのですが・・・

お礼

ありがとうございます。

＞不等式にマイナスの数をかけると「＜」と「＞」が逆転することを説明する
まさにこの変化が納得できないようです。

＞a,b<0の条件は使わなくてよい
確かに必要ありません。ただ、この問題ではa、ｂ＞０の時に不等号が逆転することを理解した上で、a、ｂ＜０の場合を考える順序に成っていたのです。

ちなみに、a、ｂ＞０の時はすんなり納得していました。

回答No.3

geyan

私も同じ質問を受けたことがあります。
直感的にと言えるかどうかわかりませんが、私が考え出した理解する方法を書きます。

まず、正の数と負の数の理解の仕方ですが、
地面をゼロとし、正の数は土を積み上げる、負の数は地面を掘ると考えます。
こう考えると、例えば、-2×3なら２単位分掘った穴をさらに３倍掘るとなります。
そこで、マイナス同士の掛け算の場合ですが、マイナスとマイナスの掛け算でマイナスが双方ともプラスに転ずると考えます。
つまり、-2×-3の場合は、2×3と同じことになる。
地面に２単位分だけ盛ったものを３倍にするということになるので、土の高さは６単位分になります。

これで、いよいよあなたの問題ですが、
負の数どうしの掛け算で、a<bですから、マイナスがプラスに転じたら、当然-3a>-3bとなります。

これでどうでしょうか。
あなたの生徒さんがどこで躓いているのか分かりませんが、たいていは、このプラスとマイナスの理解の仕方が出来ていないことが原因となっていることが多いです。
うまくいきますように。

お礼

専門家の回答、ありがとうございます。

そうですね。－と＋の関係で躓いているかもしれません。

そういえば同じ生徒を３年前、小学６年の時に教えていた時に、－×－が＋になるところでつまずいていました。

回答No.1

sittaka-kun

私は「両辺を３で割る」で直感的に理解できました。

お礼

ありがとうございます。

そうですね。３があることによって、式が多少複雑になっているので、とりあえず３で割って見ると多少わかりやすくなるかもしれません。