dy ＝ f'(x) dx の理由

質問

お世話になります。

高校数学で dy / dx ＝ f'(x) ＝ lim {h→0} {f(x+h) － f(x)} / h
と習ったかと思います。これを変形すると
dy ＝ f'(x) dx ・・・(1)
となります。

一方、テイラー展開の公式
f(x ＋ h) ＝ f(x) + f'(x) h ＋ f''(x) h^2 / 2 ＋・・・
より
Δy ＝ f(x＋h)－f(x) ＝ f'(x) h ＋ f''(x) h^2 / 2 ＋・・・
です。h → 0 の極限をとると
dy ＝ f'(x)dx ＋ f''(x) dx^2 / 2 + ・・・(2)
となるかと思います。

(1)と(2)が一致しないことについて、どう考えればよいでしょうか？

（(1)が(2)の2次以上の項を無視した近似だとすると、
近似式で微分という分野がうまく回っている理由がよくわかりません。。
数学ではなく物理なら「実用上」2次以降の微小量を無視するのは
わかるのですが。。）

よろしくお願いします。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

y=f(x)
x=x(t)
h=Δx=x(t+Δt)-x(t)
とすると

(dy/dt)=f'(x)(dx/dt)…(1)

(d(dy/dx)/dt)=f"(x)(dx/dt)…(2)
…
(d(d^(n)y/dx)/dt)=f^(n)(x)(dx/dt)…(n)

となります

f(x+h)=f(x)+f'(x)h+f"(x)h^2/2+…
Δy=f(x+h)-f(x)=f'(x)h+f"(x)h^2/2+…
は
Δy=f(x+Δx)-f(x)=f'(x)Δx+f"(x)(Δx)^2/2+…

両辺をΔtで割ると
(Δy/Δt)=f'(x)(Δx/Δt)+f"(x)(Δx/Δt)Δx/2+…
です.
Δt→0の極限をとるとΔx→0,Δx/Δt→dx/dt,Δy/Δt→dy/dt
n≧2次以上の項(Δx)^(n-1)→0
lim_{Δt→0}f"(x)(Δx/Δt)Δx/2=f"(x)(dx/dt)*0/2=0
lim_{Δt→0}f^(n)(x)(Δx/Δt)(Δx)^(n-1)/n!=f^(n)(x)(dx/dt)*0/n!=0
になり

dy/dt=f'(x)dx/dt

となります
これをtを省略してdy/dt→dy,dx/dt→dx,の形式で書くと

dy=f'(x)dx

となります

お礼

ありがとうございます！
添付していただいた図がとってもわかりやすかったです。
新しい変数tを持ち出すのがミソですね。
この仕組みを使えば、微小変化を表す式に微小変化の2乗以上が含まれていれば常にそれは無視できるということができそうですね。