ボード線図の位相曲線について

質問

ボード線図で１次遅れの伝達関数の位相曲線について質問です。ω＝０の時は０度でω＝∞のときは-90度になるのですが、その間の-45度となる点を左右のあるωから直線で結ぶのですが（G(ω)＝1/(1＋Tjω)の時はω＝1の時に45度となり、その直線の端点がω＝0.2とω＝1、と1の0.2倍と5倍を考えているのですが何故そうなるのか分かりません。ゲイン曲線は×10単位でωの値をとっているのに
位相曲線は×5単位でωをとっているのです。
何か納得できないのでどなたか教えてください！

回答No.2

mech32 · ベストアンサー

一次遅れなので、時定数T=1とすると、位相特性曲線は
φ=-arctan ω
ですが、ログスケールでプロットしているので、
ω=10^x
とおいて、x,φについてリニアスケールでプロットしても同じことです。そこで
φ=-arctan(10^x)
として、xで微分すると
dφ/dx=-ln10/(1+10^2x)
になりますが、ω=1のときx=0なので、x=0を代入すると、ω=1のときの傾きがもとまって、
dφ/dx(ω=1)=ln10/2
となります。これは、位相特性曲線の、ω=1における接線の傾きですが、この接線と、直線φ=0および、φ=π/2の交点は、
φ=0のときx=-0.68
φ=-π/2のときx=0.68
です。そこで再びωに戻してやると、
φ=0のときω=10^-0.68=0.2
φ=-π/2のときω=10^0.68=4.79
となって、おおむね、0.2と5になります。
ボード線図は折れ線近似で描くので、この、0.2と5も厳密な値ではなく、近似です。

回答No.1

foobar

位相は、ωT=1(ω=ω0=1/T)の時に45度ですよね。
ω=0.2ω0,位相=0の点と、ω=5ω0,位相90度の点を直線で結ぶというのは、位相特性を折れ線近似するときの作図手法かと。
これは、位相45度のところで、きちんと描いた位相曲線に接する(「接する」というのは不正確なのですがご容赦)直線を引くと、ほぼ0.2ω0で0°と、5ω0で90度の線と交わる、ということから来ていたかと。

振幅特性のほうは、ωが充分大きければ、G(ω)≒1/(jωT)でωに反比例するので、10倍ごとに20dBの傾きの直線で近似できる、この直線と|G|=0dBの線は、ω0で交わる、ということから、折れ線近似の作画法(ω<ω0で0dB、ω>ω0で-20dB/dec.の直線)ができていたかと思います。