ボード線図と漸近線について

質問

１次遅れ要素のボード線図のゲイン特性について質問です。
ボード線図というものがどんなグラフになるのか、まったくわからないと想定した時、

ゲイン特性のグラフは２つの漸近線で表せますが、それはなぜそう考えればいいのでしょう？なぜ２つの漸近線だけでいいと考えるのでしょうか？
ωＴが１付近の時（ちょうどカーブするところ）のことはどう考えればいいのでしょうか？

また、「制御システムの解析に用いる場合、曲線のまま扱うよりも、折れ線で近似したものを用いた方が都合がいいことが多い」と本に書いてありましたが、その「都合がいい」とはどういうことですか？

お願いします。

回答No.3

boobee0125 · ベストアンサー

#1 です。舌足らずを補足させていただきます。

>>１次遅れ要素の場合は周波数⇒ゼロ、⇒∞ の時の２つの極限操作でのゲインが漸近線となります。
>これがなぜそうなるのかということが知りたかったです。

1/(1+jωT) でω→0 とすれば分母の第二項が無視されてきてゲインが１に漸近します。またω が十分大きい場合は分母の第一項が無視されてきてゲイン（絶対値）が１/ωTに漸近します(#1 のω→∞は変でしたね)。

ボード線図のような両対数表現では後者のゲイン＝１/ωT のグラフは f＝ω/2π、fo＝1/(2πT)、x＝log f、xo＝log fo として

y
＝ log(1/ωT)
＝ log(fo/f)
＝ log fo － log f
＝ xo － x

なる直線となりますが、その直線は x＝xo すなわち ωT＝１でゼロになるのでそこで ω→0 の場合の漸近線（y＝log 1＝0）と交わることがわかります。

お礼

とても詳しく教えていただきありがとうございます！
大変参考になりました！

回答No.2

foobar

折れ線で近似したほうが都合が良い
制御系の特性を表す時定数が折れ曲がりの点の周波数と一致する
漸近線の傾きと次数が対応する
ので把握しやすくなる、というのもあります。

お礼

なるほど、参考になりました。ありがとうございます！

回答No.1

boobee0125

>ゲイン特性のグラフは２つの漸近線で表せますが、それはなぜそう考えればいいのでしょう？なぜ２つの漸近線だけでいいと考えるのでしょうか？

１次遅れ要素の場合は周波数⇒ゼロ、⇒∞ の時の２つの極限操作でのゲインが漸近線となります。

>ωＴが１付近の時（ちょうどカーブするところ）のことはどう考えればいいのでしょうか？

このときは（カットオフ周波数では）ゲイン＝|1/(1 + j)|＝1/√(1^2+1^2)＝1/√2≒0.707 (-3dB) となります。

>また、「制御システムの解析に用いる場合、曲線のまま扱うよりも、折れ線で近似したものを用いた方が都合がいいことが多い」と本に書いてありましたが、その「都合がいい」とはどういうことですか？

折れ線なら周波数⇒ゼロ、⇒∞で簡単にほとんど暗算でグラフが描けますし、カットオフ周波数近辺は滑らかに変化するということさえわかっていれば大きな間違いは無いということではないでしょうか？

お礼

参考になりました。ありがとうございます。

補足

質問の仕方がわかりにくくてすいません。

>１次遅れ要素の場合は周波数⇒ゼロ、⇒∞ の時の２つの極限操作でのゲインが漸近線となります。

これがなぜそうなるのかということが知りたかったです。

それでも、とても参考になりました。ありがとうございます。