群数列

質問

問１
1/1,1/2.2/2,1/3,2/3,3/3,1/4,2/4,3/4,4/4.1/5,…
のように分数の列をつくるとき
30/40は
分子と分母の関係から
第40群の30番目。
30/40までの項数は
Σ(39,k=1)k+30
={39(39+1/2}+30
=780+30
=810項目

問題２
1/1,1/2,2/1,1/3,2/2,3/1,1/4,2/3,3/2,4/1,1/5,2/4,3/3,4/2…
のように分数の列を作る時、7/36は
群番号=分子の数+分母の数-1
より
7+36-1=42
より第42群の7番目の分数。
41群までの項数は
{41(41+1)/2}=861項
861+7=868項目

★２つの問題は似ていますが解き方が違います。
どうして解き方が違うのか区別が分かりません。
誰か教えてください。

回答No.1

thetas · ベストアンサー

方針は、同じです。
１）「与えられた数が第ｍ群のｋ番目である」のｍとｋを求める。
２）「第ｍ群のｋ番目は第ｎ項」のｎを求める。
の順に解いています。

１）について
問題１では、
分母の数字がｍに対応し、分子の数字がｋに対応しますので、すぐに
ｍ＝４０、ｋ＝３０
と求まりました。
問題２では、問題１とは異なり、分母の数がｍやｋではありません。
そのため、（分子）＋（分母）がｍ＋１に対応していることを数列の規則から発見して、
ｍ＝（分子）＋（分母）－１として求まります。（ｍ＝４２ですね）
なお、ｋは分子の数と一致し、７と分かります。

２）について
使っている式は違うように見えますが、実は同じものを使っています。
問題２を問題１のように書きますと、
Σ(41,k=1)k+7
={41(41+1)/2}+7
=861+7
=868項目

補足

分母の数字がｍに対応し、分子の数字がｋに対応はどのように判別すればいいのでしょうか？

例えば均等に並んでいる数列は問１の解き方、
均等ではない数列は問2の解き方と考えてよろしいですか？

回答No.2

thetas

はじめのほうの群（第３群とか第４群など）をみて、法則性をみつけましょう。

たとえば、第４群だけを取り出すと、
問題１は、1/4,2/4,3/4,4/4
問題２は、1/4,2/3,3/2,4/1

上の数列では、（分母）＝（群の番号）、（分子）＝（何番目）という法則がみつかります。
　そして、他の群もそうなっているか確認しますと、第１～３群もそうなっています。
下の数列では、（分子）＝（何番目）、分母は、群の番号から順に１ずつ小さくなっています。
　一方、（分子）＋（分母）＝５で一定です。この５は、群番号より１大きくなっています。
　（分子）＋（分母）＝（群番号）＋１が、他の群についても成り立っているかを確認します。

というような方法で、私は群数列の法則をみつけています。