部分分数の分解

質問

ラプラスの逆変換の問題を解いているのですが部分分数の分解がうまくいきません。
1/(s+1)(s^2-2s+5)
上記の式を分解すると
1/8<1/(s+1)-(s-3)/(s^2-2s+5)>
になるらしいのですがうまくいきません。
解き方がわかる方、アドバイスお願いします。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

分子の次数が定数で分母の次数３次に比べ１次以上低いことを注目します。次に、分母の素因数分解を考えると、
(s+1)と(s^2-2s+5)の２項の積になります。

以上から、部分分数分解の分解項の一般項がそれぞれ
a/(s+1)　と　(bs+c)/(s^2-2s+5)
となります。分母より、分子が１次低いことに注目してください。

まとめると、
1/(s+1)(s^2-2s+5)=a/(s+1) + (bs+c)/(s^2-2s+5)...(1)
と置くことができます。この式は恒等式ですので、
左右の共通の分母(s+1)(s^2-2s+5)を掛けた
1=a(s^2-2s+5) + (bs+c)(s+1)
も恒等式になります。
左右のsの各次の係数同士が等しいと置いて、
a,b,cの連立方程式が出来ますので、a,b,cを求め(1)の右辺に代入し、1/8でくくり出せば、質問者さんの解が得られます。

以上は未定係数法を利用する部分分数展開法です。

このほか、留数法による部分分数展開法があります。
この方法では以下のようにa,b,cを求めます。
(1)の左辺をF(s)と置くと
a=F(s)(s+1)｜s→-1 =1/ (s^2-2s+5)|s=-1 = 1/8
同様に、αを(s^2-2s+5)=0の２根の１つとして、
b=d/ds{F(s)(s^2-2s+5)}|s=α = -1/8
c=F(s)(s^2-2s+5)|s=α = 3/8
と求まります。

お礼

早速ご回答していただきありがとうございました。
丁寧に解説していただき感謝です。
解き方わかりました。

回答No.1

endlessriver

２番目の式を計算すればよいのだが、それがわからなければどうしようもでけん。＼(-_-)／

導き方ということであれば
a/(s+1)-(bs-c)/(s^2-2s+5)
を計算して a b c を求めます。

お礼

早速ご回答していただきありがとうございました。
解き方わかりました。