部分分数分解の特別な形？

質問

次の関数のラプラス逆変換を求めよ。

s / { (s+1)^2 (s-1) }

模範解答

s / { (s+1)^2 (s-1) } = (As + B) / (s+1)^2 + C/(s-1) とおき、両辺が等しくなるように係数A, B, Cを求める。

・・・と本に書いてあるんですが、なんでいきなり

s / { (s+1)^2 (s-1) } = (As + B)/(s+1)^2 + C/(s-1)

という式になるんですか？
私はまず

s / { (s+1)^2 (s-1) } = A/(s+1) + B/(s+1) + C/(s-1)

と普通に部分分数分解をして解いてみました。
するとC=1/2になって、それをそれぞれ(1)と(2)に代入したら
AとBが消えてしまって、

0 = 1

という結果になりました。よって、この方法が間違いなのは分かりました。
ただ、なんでs / { (s+1)^2 (s-1) } = (As + B)/(s+1)^2 + C/(s-1)なんですか？
そういう公式でもあるんですか？
例えば、もしこれが

s / { (s+1)^3 (s-1) }

だった場合にも適用できるような公式があるんですか？
では、よろしくお願いします。

回答No.2

info22_ · ベストアンサー

>適用できるような公式があるんですか？
公式はありますよ。
分母が1次の因数ばかりの場合(全ての因数が互いに素の場合)は質問者さんのやり方の公式が
あります。
[公式1]
　n(s)/(s-a_1)(s-a_2)…(s-a_m)
=A_1/(s-a_1)+A_2/(s-a_2) + … + A_m/(s-a_m)
[注]分子多項式n(s)の次数は分母の次数より1次低いかそれ以上低いとしておきます。

分母が(s-a)^mの場合（m乗の因数の場合）
[公式2]
n(s)/(s-a)^m=A_1/(s-a)+A_2/(s-a)^2 + … +A_m/(s-a)^m

分母が互いに素な一次因数とm乗の因数が混じっている場合
[公式3]
[公式1]と[公式2]の組合せ
n(s)/(s-a_1)(s-a_2)…(s-a_j)(s-b)^m
=A_1/(s-a_1)+A_2/(s-a_2) + … + A_j/(s-a_m)
+B_1/(s-a)+B_2/(s-a)^2 + … +B_m/(s-a)^m
など
[公式1]の例
　(s^2+1)/((s+1)(s+2)(s+3))
=1/(s+1) -5/(s+2) +5/(s+3)
[公式2]の例
　(s^2+3s+1)/(s+1)^4
=1/(s+1) -3/(s+1)^2 +6/(s+1)^3 -3/(s+1)^4
[公式3の例]
　s/((s-1)(s+1)^2)
=(1/4)/(s-1) -(1/4)/(s+1) +(1/2)/(s+1)^2

　s/((s-1)(s+1)^3)
=(1/8)/(s-1)
-(1/8)/(s+1) -(1/4)/(s+1)^2 +(1/2)/(s+1)^3

36s^2/((s-1)(s-2)(s+1)^3 (s+2)^2)
=-(1/2)/(s-1) +(1/6)/(s-2)
-(109/6)/(s+1) +13/(s+1)^2 -6/(s+1)^3
+(37/2)/(s+2)+6/(s+2)^2

と言ったように部分分数分解できます。
[公式3]は[公式1]と[公式2]を組合せた分解です。
互いに素な因数のk乗が分母に複数含まれている場合は
[公式2]を複数組み合わせます（最後の例参照）。

要は、両辺に分母を掛けた時、左辺（分子多項式）と右辺が恒等的に等しいことが成り立つような部分分数分解の項を全て書かないといけないということです。

>s/{(s+1)^2 (s-1)}= A/(s+1) + B/(s+1) + C/(s-1)…(★)
分母{(s+1)^2 (s-1)}を掛けると
　s=A(s^2-1)+B(s^2-1)+C(s+1)^2　…(☆)
これがsの恒等式だとすると
　A+B+C=0,2C=1,-A-B+C=0
これらの式を同時に満たすA,B,Cは存在しません。つまり
　(☆)は恒等式ではない。すなわち(★)のような展開は不可能。つまり展開式が間違っている。ということを意味します。
s/{(s+1)^2 (s-1)}= A/(s+1) + B/(s+1)^2 + C/(s-1)…(★)'
と展開式をおけば良いですね(上の[公式3]を適用する)。

お分かりでしょうか？

参考URL：

http://brain.cc.kogakuin.ac.jp/~kanamaru/lecture/difeq/difeq11-ans.pdf

お礼

公式があったんですね。
あったことすら知りませんでした。
これらの例題もラプラス逆変換の問題と解説のリンクも助かります。
詳細な説明、ありがとうございました！

回答No.3

info22_

A#2です。

公式の例の内、以下の２つの例題の部分分数分解にミスが有りましたので訂正させて頂きます。

>[公式2]の例
>(s^2+3s+1)/(s+1)^4
誤：　=1/(s+1) -3/(s+1)^2 +6/(s+1)^3 -3/(s+1)^4
正：　=0/(s+1) +1/(s+1)^2 +1/(s+1)^3 -1/(s+1)^4

>[公式3の例]
の内
>36s^2/((s-1)(s-2)(s+1)^3 (s+2)^2)
誤：=-(1/2)/(s-1) +(1/6)/(s-2)
-(109/6)/(s+1) +13/(s+1)^2 -6/(s+1)^3
+(37/2)/(s+2)+6/(s+2)^2
正：-(1/2)/(s-1) +(1/3)/(s-2)
+(187/6)/(s+1) -19/(s+1)^2 +6/(s+1)^3
-31/(s+2)-12/(s+2)^2

お礼

ありがとうございました。

回答No.1

Tacosan

なぜ
s / { (s+1)^2 (s-1) } = A/(s+1) + B/(s+1) + C/(s-1)
とおいたんでしょうか? この式, A と B で分けている意味ないよ.

で,
s/[(s+1)^2(s-1)] = A/(s+1) + B/(s+1)^2 + C/(s-1)
とする方針はある. 分母に (s+α)^n があったら 1/(s+α), 1/(s+α)^2, ..., 1/(s+α)^n ってバラす方針ね.

あるいは分母に対し 1つだけ次数の低い式を分子においてもいい. これがその本に書いてある方法. 等価だからどっちでやってもいいんだけど, ラプラス逆変換という視点からは前のやつの方がいいかもね.

お礼

部分分数分解には2次以上の解き方があったんですね。
想像すらしてなかったです。

なるほど、後者の方法で分母が(s+1)^3のを解くなら分子は(As+B)^2ですね、きっと。
忘れそうなのでここに書いておきます。
ありがとうございました。