空間の方程式

質問

空間ベクトルの問題を解いてて思ったのですが、、
xyz空間に存在する直線を『ax+by+cz+d=0』のようなかたちであらわすことは可能ですか？

回答No.4

パんだ パンだ（@Josquin） · ベストアンサー

＃１、＃３のとおり。＃２さんのも平面です。
直線は (x-p)/a=(y-q)/b=(z-r)/c （但しabc≒0のとき）といった形になります（＃３さんの前半に書かれているのはこのことです）。

回答No.8

shibainumodoki

xyz空間(３次元空間)で ax+by+cz+d=0 は平面を表します。
　例えば、１次元(ｘ軸のみ)の時、x=a は、ｘ軸上のある１点を表します。
　２次元(xy)空間では、ax+by+c=0 (a,b は同時に0でない)は直線(点の集合)を表します。ただ、ここで x(またはy)の値を1つ決めれば、１点を表せます。
　xyz空間(３次元空間)で ax+by+cz+d=0 (a,b,cは同時に0ではない)だけの条件では平面を表しますが、平面を『直線の集合』と考えれば、x,y,z いずれか一つの値を固定すれば、ある平面上での直線を表せるのでは？
例えば、z=0 と固定すれば ax+by+cz+d=0⇔ax+by+d=0 かつz=0 となり、平面z=0(xy平面)上での直線を表すことになりませんか？

回答No.7

yumisamisiidesu

2つの平面の方程式を夫々
ax+by+c=0
dx+ey+f=0
とするとこの2平面の共有部分が直線になる必要十分条件は
det(a b/d e)=ae-bd≠0です
また、上の最初の2つの式と
(ax+by+c)^2+(dx+ey+f)^2=0は同値です

回答No.6

springside

当然、不可能です。

回答No.5

toranekosan

なぜ、その式が平面を表すのかと言う疑問に答えます。

まず平面を考えます。
直線の式は ax+by+c=0と表されますね。
実はこの式を変形すると次のようなある定数e,fが存在します。
a(x-e)+b(y-f)=0 ae+bf=c
これは
(a,b)＊(x-e,y-f)=0となります。
これは、あるベクトル(a,b)に対して、ベクトル（x-e,y-f)が直交していると言っています。
つまり、直線の式とはあるベクトルに直交するベクトルの集合と考えられるのです。この直線は必ず点(e,f)をとおります。

次に三次元空間ですが、
ax+by+cz+d=0
(a,b,c)*(x-e,y-f,z-g)=0
と表されるので、三次元空間上である点(e,f,g)を通り、尚且つベクトル(a,b,c)に直交するベクトルの集合をあらわしている事が分かります。
三次元空間を想像してみると分かる通り、これは平面ですね。

四次元空間を考えた時、
ax+by+cz+dw+e=0
とは同様に四次元空間上である点を通って、ベクトル（a,b,c,d)に直交するベクトルの集合なので、三次元空間を意味する事がわかります。

三次元空間上での直線の式とは、
t(a,b,c)=(x-e,y-f,z-g)（あるベクトルに対して平行）
でしかか書けません。
これのパラメーターtを消去すれば他の方が言われた直線の式になります。

二次元上での直線の式も同じように書けます
t(b,-a)=(x-e,y-f)
tb=x-e
-ta=y-f
から、
t=(x-e)/b=-(y-f)/a
これを整理すると
a(x-e)+b(y-f)=0
となります。

回答No.3

yumisamisiidesu

三次元中の直線の方程式を表すのに、1つだけのスカラー＝スカラーの式で表すのは無理だと思います
同値でない式で2つ必要だと思います．
また、一つのスカラー範囲のパラメータを用いてベクトル方程式で表すことは可能だと思います

回答No.2

MASA51

三次元空間内の直線として存在します。

ｘ、ｙ、ｚが次の２点：（１、１、２）と（４，４，５）を通る場合、

ｘ＋ｙー２ｚ＋２＝０

という式になります。どう見ても三次元空間内の直線ですよね。

回答No.1

NNori

それは平面です。