平面の式

質問

ax+by+cz=0という式はxyz空間で平面になるそうですが、なぜなのかよく分かりません。xyzのどれか1つを固定すると常に直線が現れるということはわかるのですが、曲面でもxyzのどれか1つを固定すると常に直線が現れるものがもしかしたらあるかもしれないと思ってしまうのです。どうなのでしょう？教えてください。

回答No.3

springside · ベストアンサー

こういう説明もあります。

ax+by+cz=0は、「定数a,b,cがあって、ax+by+cz=0を満たす変数x,y,z、つまり、点(x,y,z)が描く図形」を表す。
↓
２つのベクトル(a,b,c)と(x,y,z)を考えると、ax+by+cz=0というのは、その２つのベクトルの内積=0ということである。
　(a,b,c)・(x,y,z)=0
↓
内積=0ということは、その２つのベクトルは直交しているということである。
↓
つまり、(a,b,c)と(x,y,z)が直交しているわけであるが、それがどういうことかと図形的に考えると、以下のようになる。

ベクトル(a,b,c)と(x,y,z)の始点を揃えると、例えば机の上に垂直にベクトル(a,b,c)が立っていて、ベクトル(x,y,z)が机の上にベタっと寝ている感じ。ベクトル(x,y,z)は、ベクトル(a,b,c)に直角でありさえすればいいので、その始点を中心に時計の針のようにぐるぐる回れるし、長さも自由にできる。つまり、その机の面全体を表すことができる。

以上により、ax+by+cz=0を満たす点(x,y,z)は平面を描く。

回答No.5

mangou-kutta

No.2,No.4です
ついでに

Po(xo,yo,zo)を通り→u＝(a,b,c)に垂直な平面の方程式は
平面状の任意の点をP(x,y,z)とすれば
→PoP=(x-xo,y-yo,z-zo)
ここで(→u)⊥(→PoP)だから
(→u)・(→PoP)＝a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)＝0
この
a(x-xo)+b(y-yo)+c(z-zo)＝0―(*)
が平面の方程式の標準形

変形して
ax+by+cz-(axo+byo+czo)＝0
定数になる-(axo+byo+czo)をdとおいて
ax+by+cz+d＝0―(**)
としたのが平面の方程式の一般形

回答No.4

mangou-kutta

No.2です
ダイレクトで美しい回答が出ましたので、もうでる幕がありませんネ。
おわびにコンパクトにまとめてみました。

ax+by+cz=0―(*)上 の任意の点をP(x,y,z)
Aの座標を(a,b,c) とすると
内積OA・OP=ax+by+cz
また(*)よりOA・OP=0
∴OA⊥OP
よって(*)はOAに垂直な(原点を通る)平面を表す。

というか、これは平面の方程式を導くときの手法そのままでした。

回転については仰るとおりですが、次元が一つ増えるだけですが平面のように単純ではなくかなり込み入ってきます。

回答No.2

mangou-kutta

＞ax+by+cz=0という式はxyz空間で平面になるそうですが、なぜ

原点を通っているので元の式を回転(一次変換)して
z=0(x-y平面)に重なることを示せばよい。

具体的には、回転(長さを変えない)によるなら
もとの方程式の法線ベクトルに当る
→u＝(a,b,c)を →v＝(0,0,k)に移す変換をすればよいですね。ただしk＝√(a^2+b^2+c^2)

逆に、座標のほうを変換しても同じこと。

お礼

回答ありがとうございます。すみませんどうやって回転させたらよいのでしょうか。uをvに移す行列を考えて、（x,y,z)をそれでとばせばいいのかな？

回答No.1

noname#47050

＞現れるものがもしかしたらあるかもしれない

反例を探してるのですね。あります。例えば円筒を４つ切りにして１個取り出した図形は、曲面ですが切り方によっては直線になります。ＴＶ番組「サスケ」第１ステージの最後の障害物と言ったら通じるでしょうか（笑）

説明すると以下のようになります。言葉のあやとりみたいなので、ゆっくり考えて下さい。
・どこかで切って直線になったからと言って、平面だとは証明出来ません。反例を上述してます。
・ただし、逆に平面だったらどこで切っても必ず直線になります。

数学的に矢印で表現すると
偽　図形の切断面が直線である→図形は平面である
真　図形の切断面が直線である←図形は平面である

肝心の、与式を見て平面だとなぜ分かるのか？ですが、これはa,b,cに色々な値を代入して実際に図を書いてみるしかありません。分かり易い簡単な例を挙げるとa=0,b=0,c=1　を代入すると平面の式は
z=0
になりますね。別にx,yを固定した訳ではありません。x,yは式に現れないってことは任意です。頭の中でｚ座標が０の点の集まりを想像して下さい。どう見てもx-y平面になりますね？これ以外に想像出来ますか？

曲面や曲線を数式表現するには、どうしても２次以上が必要です。すなわちx^2やx^3とかが必要です。質問の式は１次式なので曲がった表現が出来ません。

お礼

回答ありがとうございます。なんとなく理解できました。