空間上の2直線のなす角について

質問

数学は高校２年生で止まっていますので、難しい内容だとすぐには理解できないかもしれませんが、がんばって理解しようと思っています。

今回質問させて頂きたいのは「空間上の2直線のなす角」についてです。

1つ目の直線は、基準となる直線でZ軸と平行(という考え方が正しいかすら分かってません)
2つ目の直線は、傾きを持った平面の法線ベクトルになる予定です。
その2つの直線のなす角を求めたいと思っています。

1つ目の基準となる直線はA(1,1,0)、B(2,1,0)、C(1,2,0)の3点を通る面の法線ベクトルを求めればZ軸と平行な直線が求まるのではないかと思いました。
しかしながら、AB→とAC→の外積を求めようとすると(0,0,0)という解になってしまいました。

1つ目の直線と2つ目の直線のなす角を求めるには
cos φ ＝ A・B / (|A| * |B|)
　　 Ax * Bx + Ay * By + Az * Bz
＝ ───────────────────────────
√((Ax*Ax + Ay*Ay + Az*Az) * (Bx*Bx + By*By + Bz*Bz))
を使って求めるところまでは調べたのですが、1つ目の直線が求められないためになす角を求めるところまでたどり着けません。

数学に不慣れな者の質問で所々不明な箇所があると思いますが、回答いただけるとありがたいです。

宜しくお願い致します。

回答No.1

riddle09 · ベストアンサー

＞1つ目の基準となる直線はA(1,1,0)、B(2,1,0)、C(1,2,0)の3点を
＞通る面の法線ベクトルを求めればZ軸と平行な直線が求まるのでは
＞ないかと思いました。

この３点を通る平面は、何も考えずに
０×ｘ＋０×ｙ＋１×ｚ＝０　すなわち　ｚ＝０　です。
従ってこの平面の単位法線ベクトルは　(０,０,１)　となります。

＞1つ目の直線と2つ目の直線のなす角を求めるには
＞cos φ ＝ A・B / (|A| * |B|)

二つの直線ベクトルの内積を二つのベクトルの長さの積で割るだけ
で二つの直線のなす角φがわかります。
ここで、二つ目の直線のベクトルを　(ａ,ｂ,ｃ)　とおけば、
cos φ ＝ｃ／√(ａ＾2＋ｂ＾2＋ｃ＾2)

お礼

あ・・・計算間違えてました・・・

詳しい説明もありがとうございます

回答No.2

arrysthmia

ツッコミ所が満載だが、とりあえず計算間違いは直しとこ。
↑AB = (2,1,0) - (1,1,0) = (1,0,0)
↑AC = (1,2,0) - (1,1,0) = (0,1,0) だから、
↑AB×↑AC = (1,0,0)×(0,1,0)
= (0*0-0*1, 0*0-1*0, 1*1-0*0) = (0,0,1) になる。
これが、求める直線の方向ベクトル。続きは、お好きなように…

お礼

計算間違いをご指摘いただきありがとうございました

なんとか少し進めそうです