ミクロ経済学の微分についてなんですが

質問

武隈のミクロ経済学P62なんですが、
u=V(p1,p2,E(p1,p2,u))の両辺をp1で微分すると
0=V1(p1,p2,m)+Vm(p1,p2,m)*E1(p1,p2,u)ただしm=E(p1,p2,m)
とあるのですが、この微分の仕方がわかりません。誰か教えていただけないでしょうか?

回答No.1

at9_am · ベストアンサー

元の本が手元にないのですが、これはロイの恒等式と呼ばれるものです。

u=V(p1,p2,m)
が最大化されているとすれば ∂u/∂p1=0 が成り立っているはずです。一方、V を p1 で偏微分すると、まず第一要素に p1 があり、第三要素 m の中にも p1 がありますので、それぞれで微分する必要があります。したがって剛税関数の微分をするため
∂V/∂p1 = V1 + ∂V/∂m * ∂m/∂p1
になります。m=E(p1,p2,u) を代入すれば
0 = V1 + Vm * E1
となることが分かります。

お礼

大変助かりました。ありがとうございました。

回答No.2

taktta

ただしm=E(p1,p2,m) はm=E(p1,p2,ｕ) ですね。

さて合成関数の微分とは解析概論ｐ６０にＵがｘ、ｙの関数でさらにｘ、ｙが
ｔの関数のとき
dＵ/dt＝Ｕx*dx/dt+Ｕy*dy/dt

さてＵが　　　　　　ｘ、ｙの関数でさらにｘ、ｙが　ｔの関数のとき
　　Ｕ=V(p1,p2,E）　p1、Ｅ　　　　　　　　p1、Ｅ　p1

dＵ/dt＝Ｕx*dx/dt+Ｕy*dy/dt

Ｕは3変数のため上のdＵ/dtは下の∂Ｕ/∂p1に同じだとはわかりますか。

∂Ｕ/∂p1＝Ｕp1*dp1/dp1+Ｕm*dm/dp1

　　　　　＝Ｕp1　　　　+Ｕm　　　　*dm/dp1

　　　　　＝　V1(p1,p2,m)+Vm(p1,p2,m)*E1(p1,p2,u)

と対比すれば納得されるとおもいますが。

お礼

そうです間違えてました。m=E(p1,p2,ｕ)です。
どうもありがとうございました。