固有値、固有ベクトルを求めるとき

質問

参考書によると、行列の固有値を求めるときに、
　　　　　ＡＸ＝λＸ
　ＡＸ－λＸ＝０
（Ａ－λＩ）Ｘ＝０
Ｘが０でないためには
│Ａ－λＩ│＝０
とあります。そこでなぜこのdet＝０であればいいのかがわかりません。
逆行列がどうのこうの…？？

ちなみに私は数学が非常に苦手です。

ついでにですが…
私は農学を勉強していますが、個体群の成長速度を求めるにあたり、行列がでてきて困っています。
もしこの分野に詳しい方がいらしたら、
固有値は複数出てきますが、個体群成長を考えるときに、それぞれの値は何を示すか、おわかりでしたら教えてください。
（数学的には最大固有値以外は０に収束するために、最大固有値のみが実質的な成長速度となることはわかりました。）

回答No.2

guuman

ｎ次行列Ｐとｎ次元縦ベクトルｘについて
Ｐ・ｘ＝０
であるときに
Ｐが正則だとＰ＾（－１）が存在しこれを両辺に左からかけると
ｘ＝０
となります
またＰが正則でないならばそのｎ個の列ベクトルは従属であり
Ｐ・ｘ＝０
をみたすｘ＝０でないｘが存在します

回答No.1

yoikagari

とりあえず、det=0であるという説明だけ。

もし|A－λI|≠0であれば、(A-λI)の逆行列(A-λI)^(-1)が必ず存在します。

(A-λI)X=Oの両辺に左から(A-λI)^(-1)を掛けると
X=(A-λI)^(-1)*(A-λI)X=(A-λI)^(-1)*O=O
となって、Xは零行列となります。

これは不合理ですから、|A－λI|=0でなければなりません。