固有ベクトルの求め方がイマイチわかりません。

質問

行列Ａ
|1 0 -1|
|1 2 1|
|2 2 3|

で、固有値が1,2,3で固有値が1のとき、

| 0 0 -1| |X1| |0|
| 1 1 1| |X2|= |0|
| 2 2 2| |X3| |0|

で、この方程式を解くと
X1+X2=0 X3=0となりました。

自分の解答は
| 1|
|-1|　　
| 0|
なんですが

模範解答は　
|-1|
| 1|
| 0|
となっています。

固有値が2のときは
| 1 |
|-1/2|
|-1 |
と求めたのですが、模範解答は
|-1 |
|1/2|
| 1 |

固有値が3のときは
| 1|
|-1|
|-2|
と求めたのですが、模範解答は
|-1/2|
| 1/2|
| 1 |

となっていて微妙にずれていました。
自分の答えは合っているのでしょうか？
間違っているのでしょうか？

回答No.4

sinisorsa

固有ベクトルのノルムを１に正規化する場合もあります。
固有ベクトルを並べて、直交行列またはエルミート行列
にするような場合。
しかし、この場合でも、正負の符号は決まりません。
どちらでも正しい。

回答No.3

arrysthmia

お墨付きをもらって安心するよりも、
固有ベクトルの定数倍を区別しない
理由を、自分で理解しておくことが
たいせつです。

Ax=λx の両辺を定数倍して、
A(cx)=λ(cx) ですね？
ただし、A は行列、x はベクトル、λ と c はスカラーです。

回答No.2

info22

あなたの解答でも正解です。
固有ベクトルの任意定数は自由に決めていいですから、模範解答の固有ベクトルの定数倍ベクトルになっていれば、正解になります。

お礼

ご回答ありがとうございます。
任意定数は自由に決めていいんですね。
よかったです。とても助かりました。

回答No.1

Tacosan

固有ベクトルが張る線形空間 (固有空間) を比較して, 同じだったら合っている. 違っていたら (少なくとも一方が) 間違い.
(0 でない) スカラー倍の違いなどは無視してください.

お礼

ご回答ありがとうございます。
スカラー倍の違いは無視していいんですね。
助かりました。