オイラーの公式と微積分の関係

質問

sinとcosは微積分において，ちょうどガウス座標での回転に一致しているそうですが，このこととオイラーの公式とはどのようにつながっているのでしょうか。sin をｉとおくかcosをｉと置くのかわかりませんが、不思議な感じがします。］

回答No.2

31415926 · ベストアンサー

すみません，
> (sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=sin(x) -- (*)となる．

は

(sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=-sin(x) -- (*)となる

と訂正します．

回答No.1

31415926

オイラーの公式
e^{ix} = cos(x) + i sin(x)
の両辺をxで微分すると，
左辺の微分=ie^{ix}=-sin(x)+i cos(x)
右辺の微分=(cos(x))' + i (sin(x))'
よってsin，cosの微分は
(sin(x))'=cos(x), (cos(x))'=sin(x) -- (*)となる．

左辺の微分は指数関数の微分で，指数関数の肩に
ixがのっているため，このiが外に出てi倍になる，
つまりgauss座標での回転になるというわけです．

上の計算より，
オイラーの公式と指数関数の微分を知ってさえ
いれば(*)という面倒な式を忘れてしまっても
いいということになりました．

オイラーの公式とは，三角関数というやや面倒な
ものを指数関数という形式的にはよりわかりやすい
もの(但し肩にのる数は複素数になるが)に置き換え
られる，という便利な式であります．

お礼

御懇切なご説明をどうもありがとうございます。勉強に際し，大切に参考にさせて頂きます。