オイラーの公式を使った問題

質問

Σ[k=1～N]exp(ikθ)　と Σ[k=1～N]exp(-ikθ)を求め、その結果から　Σ[k=1～N]sin(kθ)と
　Σ[k=1～N]cos(kθ)を求めよという問題なのですが、数学が苦手で、オイラーの公式を使うということは分かるのですが、Σがついただけでよく分からなくなってしまいます。

　どなたか解答お願いします。

回答No.1

NemurinekoNya · ベストアンサー

オイラーの公式
　exp(ikθ) = cos(kθ) + i*sin(kθ)　　　　　　(a)
　exp(-ikθ)= cos(kθ) - i*sin(kθ)　　　　　　(b)
だから
　sin(kθ) = (exp(ikθ) - exp(-ikθ))/(2i) 　　　　（a式-b式から出てくる)　
　cos(kθ) = (exp(ikθ) + exp(-ikθ))/2　　　　　　　(a式+b式から出てくる)

よって
Σ[k=1～N]sin(kθ)　= (Σ[k=1～N]exp(ikθ) - Σ[k=1～N]exp(-ikθ))/(2i)
Σ[k=1～N]cos(kθ)　= (Σ[k=1～N]exp(ikθ) + Σ[k=1～N]exp(-ikθ))/2

になって
　Σ[k=1～N]exp(ikθ)　= exp(iθ)*(1-exp(iθ))/(1-exp(iθ))　　　…(※)
　Σ[k=1～N]exp(-ikθ) = exp(-iθ)*(1-exp(-iθ))/(1-exp(-iθ))
なので、あとは計算をよろしくです。

（※）
　Σ[k=1～N](r^(k-1)) = (1-r^(n))/(1-r)
よって
　Σ[k=1～N](r^k) = Σ[k=1～N](r*r^(k-1))
= r*Σ[k=1～N](r^(k-1)) = r*(1-r^(n))/(1-r)
になるので、
rにexp(iθ)、exp(-iθ)を入れる