質問：三角関数の極限（大学受験）

質問

現在、の分野を勉強していますがわからない問題があります。これは大学受験用参考書に載っている問題です。どなたかおわかりになる方がいらっしゃれば教えていただきたいと思います。宜しくお願いいたします。

問題は、
x→0のとき、xsin(1/x)の極限値を求めよ、です。

私は、
xsin(1/x)はx→0のとき、０*∞になってしまうので、変形して分母分子に(1/x)をかける。
x→0のとき(sin(1/x))/(1/x)=1なので、
x・(1/x)=1
としました。

ですが、解答は、
｜sin(1/x)｜＜＝1より、0＜＝｜xsin(1/x)｜＜＝｜x｜・１＝｜x｜
x→0のとき、｜x｜→0だから、
x→0のとき、xsin(1/x)=0
となっていました。

私のやり方はどこがおかしいのでしょうか。解答も意味はわかりますが、どうしてその方法でやらないといけないのかわかりません。私の勉強不足なのですが質問する人がいないため、困っています。どなたかご存知の方がいらっしゃれば、教えていただきたいと思います。また説明不足の点があれば補足させていただきますので宜しくお願いいたします。

回答No.3

hika0724

既におっしゃられている方もいますが、中身がどんなに大きくなろうが小さくなろうがsinの絶対値は１を超えません。ですから、x→∞のときでもsin(x)→∞となることはありません。
この辺のことは教科書などの三角関数の定義のところをもう一度読んでみてください。

正確な解答はgoodoさんが読んだものの通りですが、直感的な理解として
　　　x sin(x)　→　０*(-1～1の数)　＝　０
となります。
x=0付近を正しく書くのは無理ですが、一度y=xsin(x)のグラフの概形を描いてみることをオススメします。全体的な挙動が見えてくると思います。
ちなみに極限の問題の解答において「図より明らか」などで済ますことは認められませんので注意してください。バツを喰らうか大幅に減点されます。

x→0のとき　sin(x)/x → １
の公式の意味ももう一度よく考えてみてください

大学受験がんばってくださいね。

回答No.2

omoidasu

解答を理解してるなら、sin(1/x)はx→0のとき、∞になってしまうとか言わんと思うけど。そっから、間違ってますよ。

回答No.1

sunasearch

>x→0のとき(sin(1/x))/(1/x)=1なので、

1/xは∞になるので、公式は使えないと思います。