三角関数の極限の問題なんですが・・・

質問

次の問題の処理の仕方がわからないんです。
lim (sinパイX)/(X-1)
X→1　　　　　　　　　　パイ＝円周率

Xを０に限りなく近づけた時に(sinx)/x　
またはx/(sinx)の極限値は１というのを
おそらく使うのだろうとは思いますが、どう変形すればわかりやすくなるのか、いろいろ試しましたが、答えがでません。どうかおしえてください。

回答No.5

eatern27 · ベストアンサー

>どうしてそんなひらめきがでるのでしょう?式になんらかのヒントがあるのでしょうか?それとも経験からこういう問題はだいたいこうだとかいうものがあるのでしょうか?

経験といえば経験なのかもしれませんが、

・x→αの極限の時(αは定数)は、t=x-αなどとおいて、t→0の極限の問題にするとか。
(多くの極限の公式は、０に近付けているので)
・x→-∞やx→0-0の極限の問題の時は、t=-xとおくとか。
(負の数より正の数の方が分かりやすいので)
・三角関数等を含む極限だったら、三角関数の中身を文字でおくとか。
(三角関数等の中身は、単純な方が分かりやすいので)

みたいな事をやると、大抵の場合、極限が求めやすくなると思います。

例えば、この問題で言うと、

X→1の問題なので、t=X-1とおけば、t→0となります。
すると、
lim[t→0]sin(π(t+1))/t=-lim[t→0]sin(πt)/t
となります。

sinの中身、つまりπtをxとけば、
-lim[x→0]πsin(x)/x
となります。そしたら、自然と(?)
＞Xを０に限りなく近づけた時に(sinx)/x　
の公式が使える形になっていますよね。

最初と最後だけをみれば、結局
x=(X-1)π
と置いた事になってるはずです。

ふと思いましたが、最初から↑みたいな事を書くべきだったような^^;

お礼

丁寧な回答をありがとうございます。
よ～～くわかりました。もうこれ系の問題はバッチしです!!!

回答No.4

freedom560

x=(X-1)π といきなり置くのはちょっと難しいので、まずはt=X-1とおけるようになればいいと思いますよ。
X→0でlim(sinx)/x=1であることを知っているのであれば、分母を見比べたり、X→1をt→0に変形したいと思ったらt=X-1と置くのは自ずと見えてくるようになると思います。

すると、sinπ(t+1)/t=-sinπt/t と計算できるので、ここでT=πtと置くならはじめから（T=πtにt=X-1を代入した形の）x=(X-1)πと置いておけばよかったのかなと思えればいいと思います。

-sinπt/t=-sinπt/{(πt)*(1/π)}=-π*sinπt/πt と計算できるので、x=(X-1)π といきなり置けなくても十分なわけです。

ちなみに、極限の値を求めるときにはロピタルの定理と言うすごく便利な定理があるので、知っていて損はないと思います。（高校生のときはこれを使って証明すると減点対象になりますが）
答えを先に知っておくと、計算間違いの可能性が少なくなったり、証明のヒントになったりするのでお勧めです。

お礼

ロピタルの定理という言葉にハマってしまい調べまくっていたら遅くなりました^^;
いきりなりのひらめきではなく、そういった順を追った手順があったんですね。なるほど
どうもありがとうございます!

回答No.3

take008

そこまでわかっているのなら後1歩です。x=(X-1)π と置けばいいです。

補足

できました!!!ありがとうございます!！
どうしてそんなひらめきがでるのでしょう?式になんらかのヒントがあるのでしょうか?それとも経験からこういう問題はだいたいこうだとかいうものがあるのでしょうか?

回答No.2

d-kanai

ＸをＹ／パイ＋１と置き換えてはどうでしょうか？
Ｘ→１のとき、Ｙ→０となりますよね？

回答No.1

eatern27

t=X-1としてみましょう。